2020北师大版数学必修四新素养同步讲义：第一章 三角函数章末复习提升课

章末复习提升课
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,
1．角度制与弧度制的换算
2．弧度制下扇形的弧长和面积公式
(1)弧长公式：l ＝|α|r .(2)面积公式：S ＝12lr ＝1
2|α|r 2.
3．正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z )．
函数
y ＝sin x
y ＝cos x
y ＝tan x
图像
定义域R R
{x|x∈R，且x≠
kπ＋
π
2，k∈Z} 值域[－1，1][－1，1]R
周期性2π2ππ
奇偶性奇函数偶函数奇函数
单调性
[2kπ－
π
2，2kπ＋
π
2]为增；
[2kπ＋
π
2，2kπ＋
3π
2]为减
[2kπ，2kπ＋π]为
减；[2kπ－π，2kπ]
为增
(kπ－
π
2，kπ＋
π
2)为增
对称
中心
(kπ，0)⎝⎛⎭⎫
kπ＋
π
2，0⎝
⎛
⎭
⎫
kπ
2，0对称
轴
x＝kπ＋
π
2
x＝kπ无
1．确定角所在象限的关注点
由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终
边可能落在坐标轴上，如sin α＜0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．
2．正确应用诱导公式
(1)明确诱导公式的基本功能：将k·
π
2±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用．
(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的变化．
3．关注三角函数的定义域、值域
(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin x≤1，－1≤cos
x ≤1.
(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .
4．三角函数图像变换的注意点
(1)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φ
ω(ω＞0，φ＞0)个单位长度而非φ个单位
长度．
(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
三角函数的值域与最值
求y ＝sin x －2
cos x －2的值域．
[解]
将已知函数式看成单位圆上的点A (cos x ，sin x )与点B (2，2)连线的斜率，如图所示，观察得到k AB ≤y ≤k CB .
设过点B 的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)． 即kx －y －2k ＋2＝0. 于是
|2－2k |k 2＋1
＝1，解得k ＝4±7
3
.
故函数的值域为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
4－73
，
4＋73. 已知|x |≤π
4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．
[解] y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1. 令t ＝sin x ，因为|x |≤π
4，
所以－
22≤sin x ≤22
.
则y ＝－t 2
＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54⎝⎛⎭
⎫－22≤t ≤22，
当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－⎝⎛⎭⎫－22－122＋54
＝1－22.
三角函数的性质
函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的图像为C . (1)图像C 关于直线x ＝11π
12
对称；
(2)函数f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫－π12，5π
12内是增加的； (3)由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π
3个单位长度可以得到图像C .
以上三个论断中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[详细分析] (1)f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3， 所以直线x ＝11π
12为图像C 的对称轴，故(1)正确；
(2)由－π12＜x ＜5π12，得－π2＜2x －π3＜π
2
，
所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π
12内是增加的，故(2)正确；
(3)f (x )＝3sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π6， 而由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π
3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3的图像，得不到图像C ，故(3)错误． [答案] C
三角函数的图像及图像变换
已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π
2的图像上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π
3，－2，周期为π. (1)求f (x )的解+析式；
(2)将y ＝f (x )的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x 轴向右平移π
6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，写出函数y ＝g (x )的解+析式；
(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
12时，求函数f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为T ＝2π
ω＝π，所以ω＝2.
又因为f (x )min ＝－2，所以A ＝2. 因为f (x )的最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π
3，－2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1.
因为0＜φ＜π2，所以4π3＜4π3＋φ＜11π
6，
所以4π3＋φ＝3π2，所以φ＝π
6，
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6. (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6 ――→沿x 轴向右
平移π6
个单位长度 y ＝2sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π
6
＝2sin x ， 所以y ＝g (x )＝2sin x .
(3)因为0≤x ≤π12，所以π6≤2x ＋π6≤π
3，
所以当2x ＋π6＝π
6
，
即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π
6
＝1；
当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π
3＝ 3.
1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
详细分析：选A.因为sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0， 又因为cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以cos θ＞0， 所以角θ所在象限为第一象限．
2．函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫1－1
x 2sin x 的图像大致为( )
详细分析：选A.函数的定义域为{x |x ≠0}，所以排除B ，C.因为f (－x )＝⎝⎛⎭
⎫1－1
x 2sin(－x )＝－⎝⎛⎭
⎫1－1x 2sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图像关于原点对称，故排除D.
3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解+析式为( ) A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π
4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)
D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *
)
详细分析：选A.令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C ；或由题意，
可得A ＝9－5
2
＝2，b ＝7，
周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，所以ω＝π
4.
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π
4x ＋φ＋7. 因为当x ＝3时，y ＝9， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫3π
4＋φ＋7＝9， 即sin ⎝⎛⎭
⎫3π
4＋φ＝1.
因为|φ|<π2，所以φ＝－π
4
.
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *
)． 4．化简：
1－sin 2440°＝________．
详细分析：原式＝1－sin 2（360°＋80°）
＝
1－sin 280°
＝cos 280°＝cos 80°. 答案：cos 80°
5．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π
3上的最大值是2，则ω＝________． 详细分析：由0≤ωx ≤π2，得0≤x ≤π
2ω，
所以y ＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤0，π
2ω上是递增的． 又ω∈(0，1)，所以⎣⎡⎦⎤0，π3⊆⎣⎡⎦⎤0，π
2ω， 故f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤0，π
3上是递增的， 即2sin ωπ3＝2，所以ω＝3
4.
答案：3
4
6．已知函数y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图像过点⎝⎛⎭⎫0，－32. (1)求φ的值，并求函数y ＝f (x )图像的对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2时，求函数y ＝f (x )的值域．
解：(1)因为函数图像过点⎝
⎛⎭
⎫0，－
32， 所以sin φ＝－
32，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3
， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π
3＝k π(k ∈Z )，
得x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫
k π2＋π6，0(k ∈Z )． (2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，
所以－
3
2
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 所以f (x )的值域为⎣
⎡⎦
⎤
－
32，1.。