2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(十一) Word版含解析

课下能力提升(十一) [学业水平达标练]
题组1 “五点法”作图
1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的简图是( )
2．作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π
3在长度为一个周期的闭区间上的图象．
题组2 三角函数的图象变换
3．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π
2个单位长度，所得图象对应的函数是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
4．为了得到y ＝cos 4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的1
4倍，纵坐标不变
C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D ．纵坐标缩短到原来的1
4
倍，横坐标不变
5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象( )
A ．向左平移π
4个单位长度
B ．向右平移π
4个单位长度
C ．向左平移π
2
个单位长度
D ．向右平移π
2
个单位长度
6．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
7．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝1
2
sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．
题组3 由图象确定函数的解析式
8．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则它的一个解析式为( )
A ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3
B ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π
4
C ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π3
D ．y ＝2
3sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋2π3
10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛
⎭
⎫3π
4，0对称，且在
区间⎣
⎡⎦⎤0，π
2上是单调函数，求φ和ω的值．
[能力提升综合练]
1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π
3的相位与初相是( )
A ．5x －π3，π3
B ．5x －π
3，4
C ．5x －π3，－π3
D ．4，π
3
2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π
3是
其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋2
C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6＋2
3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π
12＝0，则ω的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于( )
A. 2 B ．2＋2 2 C.2＋2 D.2－2
5．如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
6．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，
则f (x )的取值范围是________．
7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2的一段图象如图所示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
8．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π
2，2，由此点到相邻最低点间的曲
线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2. (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎫－π3＝－3
2<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎫2×π6－π3＝sin
0＝0，排除C.
2. 解：列表：
X ＝13x －π
3
π
2
π
3π2
2π
x
π
5π2 4π 11π2 7π y ＝32sin ⎝⎛⎭
⎫13x －π3 0
32
－32
描点画图(如图所示)．
3.
4. 解析：选B ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到原来的1
4倍，纵坐标不变．
5. 解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π6x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解
得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．→x ＋φＦy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，即2x ＋2φ＋π6＝2x
－
π3，解得φ＝－π4，即向右平移π
4
个单位长度． 6. 解析：选A 变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确． 7. 解：反过来想，
8. 解析：选B 由函数的图象可得T 2＝12·2π
ω＝⎝⎛⎭
⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4.
9. 解析：选D 由图象可知，A ＝23，T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－7π12＝π，∴ω＝2，∴y ＝2
3sin(2x ＋φ)．将点⎝⎛⎭⎫－π12，23代入上式，得23＝23·sin ⎝⎛⎭
⎫－π6＋φ，则φ－π6＝π2，得φ＝2π3，∴y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选D.
10. 解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )的图象关于y 轴对称，
∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ≤π，∴φ＝π
2.
由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝⎛
⎫3π4
ω＋π2＝0，
则
3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，解得ω＝4k 3－23
(k ∈Z )， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π
2上是单调函数，
所以T ≥π，即2π
ω≥π.
∴ω≤2.又ω>0，
∴k ＝1时，ω＝2
3；k ＝2时，ω＝2.
故φ＝π2，ω＝2或23
.
[能力提升综合练]
1. 解析：选C 相位是5x －
π3，当x ＝0时的相位为初相即－π
3
. 2. 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6＋2.
3. 解析：选A 函数f (x )的周期T ≤4⎝⎛⎭⎫π3－π
12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
4. 解析：选A 由图可知A ＝2，φ＝0，T ＝8， ∴
2πω
＝8，即ω＝π4，∴f (x )＝2sin π
4x .
∵周期为8，且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＋2sin π＋2sin 5π
4＋
2sin
3π
2
＝ 2.
5. 解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝⎛⎭⎫5π6－π12＝π，即2π
ω＝π，故ω＝2. 又⎝⎛
⎭
⎫
5π6，0是五点法作图的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π，则φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3.
答案：y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3
6. 解析：由题意知，ω＝2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故f (x )的最小值为f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π
6＝－3
2，最大值为f ⎝⎛⎭
⎫π3＝3sin π2＝3，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦
⎤－3
2，3 7. 解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝2
5.
由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭
⎫π
4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π
10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10，
∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭
⎫25x －π
10.
(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25（x ＋m ）－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π
10为偶函数(m >0)，
知
2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝5
2k π＋3π2
，k ∈Z . ∵m >0，∴m min ＝
3π
2
. 故把f (x )的图象向左至少平移
3π
2
个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数． 8. 解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛
⎭⎫
3π2－π2＝4π，
∵T ＝2π|ω|＝4π，ω>0，∴ω＝1
2.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ. ∵曲线上的最高点为⎝⎛
⎭
⎫π
2，2，
∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π
2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2.
∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π
4.
(2)∴令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π
2
，k ∈Z .
∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π
2(k ∈Z )．
令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π
2
＋2k π，k ∈Z ，
∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π
2(k ∈Z )．。