江苏省镇江市八年级上学期第二次月考模拟数学试题

江苏省镇江市八年级上学期第二次月考模拟数学试题
一、选择题
1．如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数为（ ）
A ．12+
B ．21-
C ．2
D ．
32
2．下列实数中，无理数是（ ） A ．
227
B ．3π
C ．4-
D ．327
3．人的眼睛可以看见的红光的波长约为5810cm -⨯，近似数5810-⨯精确到（ ） A ．0.001cm
B ．0.0001cm
C ．0.00001cm
D ．0.000001cm
4．下列图形中的五边形ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．下列标志中属于轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．由四舍五入得到的近似数48.0110⨯，精确到（ ） A ．万位
B ．百位
C ．百分位
D ．个位
7．关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：
命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；
命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；
命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形； 命题4：直角三角形中斜边最长； 以上真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．下列一次函数中，y 随x 增大而增大的是（ ）
A ．y=﹣3x
B ．y=x ﹣2
C ．y=﹣2x+3
D ．y=3﹣x
9．为了解我区八年级学生的身高情况，教育局抽查了1000名学生的身高进行了统计分析所抽查的1000名学生的身高是这个问题的（ ） A ．总体
B ．个体
C ．样本
D ．样本容量
10．小明体重为 48.96 kg ，这个数精确到十分位的近似值为（ ） A ．48 kg
B ．48.9 kg
C ．49 kg
D ．49.0 kg
二、填空题
11．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 中点，若4AB =，则
CD =_______________.
12．已知实数x 、y 满足|3|20x y ++-=，则代数式()2019
x y +的值为______.
13．式子
1
x -在实数范围内有意义的条件是__________． 14．若等腰三角形的顶角为80°，则这个等腰三角形的底角为____度； 15．在实数：311-
50.2-803.010010001 (72)
π
、、、、、、中，无理数有______个. 16．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝
3
4
x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．
17．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，其面积为12，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F .若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上的一个动点，则PCD ∆周长的最小值为______.
18．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______
19．用四舍五入法将2.0259精确到0.01的近似值为_____．
20．如图，一次函数y kx b =+与y mx n =+的图像交于点(2,1)P -，则由函数图像得不等式kx b mx n +≥+的解集为________.
三、解答题
21．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m ，AD=8m ，BC=24cm ，AB=26m ，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
22．如图，在平面直角坐标系中，点(1,3)A ，点(3,1)B ，点(4,5)C .
（1）画出ABC ∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆，并写出点A 的对称点1A 的坐标； （2）若点P 在x 轴上，连接PA 、PB ，则PA PB +的最小值是 ； （3）若直线//MN y 轴，与线段AB 、AC 分别交于点M 、N （点M 不与点A 重合），若将AMN ∆沿直线MN 翻折，点A 的对称点为点'A ，当点'A 落在ABC ∆的内部（包含边界）时，点M 的横坐标m 的取值范围是 .
23．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考：
作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且
CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.
24．如图1，已知ED垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．
（1）求证：∠AFE=∠CFD；
（2）如图2．在△GMN中，P为MN上的任意一点．在GN边上求作点Q，使得
∠GQM=∠PQN，保留作图痕迹，写出作法并作简要证明．
25．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，求四边形ABCD的面积．
四、压轴题
26．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上
一点，另一直线l2：y2=1
2
x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；
③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？
28．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）如图1，
①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；
②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为；
（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转的过程中，在什么情况下线段BF的长取得最大值？若AC2a，试写出此时BF的值．29．ABC是等边三角形，作直线AP，点C关于直线AP的对称点为D，连接AD，直线BD交直线AP于点E，连接CE．
（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．）
（2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________． 30．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形， 如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ． （材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】
，
∴点A.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．2．B
解析：B
【解析】
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
A.22
7
是有理数，不符合题意；
B.3π是无理数，符合题意；
C.=-2，是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意.
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
把数还原后，再看首数8的最后一位数字8所在的位数是十万分位，即精确到十万分位．【详解】
∵5
810-
⨯=0.00008，
∴近似数5
810-
⨯是精确到十万分位，即0.00001．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了科学记数法与有效数字，正确还原数据是解题关键．
4．D
解析：D
【解析】
分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
详解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．
，
故选：D ．
点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据对称轴的定义，关键是找出对称轴即可得出答案. 【详解】
解：根据对称轴定义 A 、没有对称轴，所以错误 B 、没有对称轴，所以错误 C 、有一条对称轴，所以正确 D 、没有对称轴，所以错误 故选 C 【点睛】
此题主要考查了对称轴图形的判定，寻找对称轴是解题的关键.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由于48.0110⨯=80100，观察数字1所在的数位即可求得答案. 【详解】
解：∵48.0110⨯=80100，数字1在百位上， ∴ 近似数48.0110⨯精确到百位， 故选 B. 【点睛】
此题主要考查了近似数和有效数字，熟记概念是解题的关键.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形边与角的关系逐一分析即可得解. 【详解】
假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立，同时根据三角形中大边对大角，大角对大边可知命题1，2正确；因为三角形中大边对大角，大角对大边，所以当最大边所对角是锐角时，可知另外两个角也为锐角，则命题3正确；因为直角三角形中，直角所对的边时斜边，而另外两个角为锐角，所以直角所对斜边最大，所以命题4正确，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角形边与角的关系，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵一次函数y=﹣3x中，k=﹣3＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
B、∵正比例函数y=x﹣2中，k=1＞0，∴此函数中y随x增大而增大，故本选项正确；
C、∵正比例函数y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
D、正比例函数y=3﹣x中，k=﹣1＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x
的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．9．C
解析：C
【解析】
【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．根据概念进行判断即可．
【详解】
解：了解我区八年级学生的身高情况，抽查了1000名学生的身高进行统计分析．所抽查的1000名学生的身高是这个问题的样本，
故选：C．
【点睛】
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
把百分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】
解：48.96≈49.0（精确到十分位）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．
【详解】
∵D是AB的中点，
∴CDAB=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜
解析：2
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．
【详解】
∵D是AB的中点，
∴CD
1
2
AB=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．－1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出x、y的值，再求出的值即可．
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0,
解得x=-3,y=2.
∴=（-3+2）2019=（-1）2019=
解析：－1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求出()
2019x y +的值即可． 【详解】
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0,
解得x=-3,y=2.
∴()
2019x y +=（-3+2）2019=（-1）2019=-1. 故答案为：-1.
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键． 13．【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
解：式子在实数范围内有意义的条件是：x-1＞0，
解得：x ＞1．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意
解析：1x >
【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
在实数范围内有意义的条件是：x-1＞0， 解得：x ＞1．
故答案为：1x >．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14．50
【分析】
因为三角形的内角和是180度，又因为等腰三角形的两个底角相等，用“180-80=100”求出两个底角的度数，再用“100÷2”求出一个底角的度数；
【详解】
底角：(180
解析：50
【解析】
【分析】
因为三角形的内角和是180度，又因为等腰三角形的两个底角相等，用“180-80=100”求出两个底角的度数，再用“100÷2”求出一个底角的度数；
【详解】
底角：(180°−80°)÷2=100°÷2=50°
它的底角为50度
故答案为：50.
【点睛】
此题考查三角形的内角和，等腰三角形的性质，解题关键在于利用内角和定理进行解答. 15．3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】
解：=-2，
无理数有：，共3个.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开
解析：3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】
， 3.010010001 (2)
π
、、，共3个. 故答案为：3.
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
16．【解析】
【分析】
认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案
【详解】
解：如图，过点P作PM⊥AB，
解析：28 5
【解析】
【分析】
认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案
【详解】
解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，
当PM⊥AB时，PM最短，
因为直线y=3
4
x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，
可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22
345
+=，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴PB PM
AB AO
=，
即：7
54
PM =，
所以可得：PM=28
5
．
【解析】
【分析】
连接AP ，AD ，根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线，求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求周长的最小值
解析：8
【解析】
【分析】
连接AP ，AD ，根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线，求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求PCD ∆周长的最小值
【详解】
解：如下图，连接AP ，AD.
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，DC=122
BC =, 1141222
ABC S BC AD AD ∴=
⋅=⨯⨯=, 解得AD=6, ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AP=PC,
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴PCD ∆周长=DP+PC+DC,当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短.能根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短求得DP+PC 的最小值是解决此题的关键.
18．—1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，进而得到AE 的长，再根据A 点表示-
1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示-1，
∴E点表示的数为：
1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴=
∵A点表示-1，
∴E，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
19．03
【解析】
【分析】
把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
解：2.0259精确到0.01的近似值为2.03．
故答案为：2.03．
【点睛】
本题考查的知识点是近似数与有效数字，近似
解析：03
【解析】
【分析】
把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
解：2.0259精确到0.01的近似值为2.03．
故答案为：2.03．
【点睛】
本题考查的知识点是近似数与有效数字，近似数精确到哪一位，就看它的后面一位，进行四舍五入计算即可．
20．【解析】
【分析】
观察函数图象得到，当x2时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+bmx+n的解集．
【详解】
∵当x2时，一次函数y=kx+b的
x≥
解析：2
【解析】
【分析】
观察函数图象得到，当x≥2时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b≥mx+n的解集．
【详解】
∵当x≥2时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，
∴不等式kx+b≥mx+n的解集为x≥2．
故答案是：x≥2.
【点睛】
考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三、解答题
21．19200
【解析】
【分析】
连接AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC2,由于AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，由S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD可得最终结果.
【详解】
解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102，
在△ABC中，AB2=262，BC2=242，
而102+242=262，
即AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
S 四边形ABCD =S △ACB -S △ACD =
12•AC•BC -12AD•CD ， =12×10×24-12
×8×6=96． 所以需费用96×200=19200（元）．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理的灵活应用.
22．（1）详见解析；1A 的坐标（-1,3）；（2）25；（3）1<m ≤1.25
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称定义画图，写出坐标；
（2）作点B 根据x 轴的对称点B ',连接A B ',与x 轴交于点P ，此时PA+PB=A B ',且值最小. （3）证AE//x 轴,再求线段AE 中点的横坐标，根据轴对称性质可得.
【详解】
解：（1）如图，111A B C ∆为所求，1A 的坐标（-1,3）；
（2）如图，作点B 根据x 轴的对称点B ',连接A B ',与x 轴交于点P ，此时PA+PB=A B ',且值最小.
即PA+PB=A B '=22224225AD DB '+=+=
（3）由已知可得，BC 的中点坐标是（
3415,22++），即（3.5,3） 所以AE//x 轴,
所以线段AE 中点的横坐标是:3.51 1.252
-= 所以根据轴对称性质可得，m 的取值范围是1<m≤1.25
【点睛】
考核知识点：轴对称，勾股定理.数形结合分析问题，理解轴对称关系是关键.
23．（1）证明见解析；（2）21.
【解析】
【分析】
（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，
∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴A′点落在CB 上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A ′DB=∠B ，
∴A′D=A′B ，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．
∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC 平分∠BAD ，
∴D′点落在AB 上，
∵BC=10，
∴D′C=BC ，
过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，
设D′E=BE=x ，
在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，
在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．
∴102-x 2=172-（9+x ）2，
解得：x=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.
24．（1）证明见解析；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质证明三角形CFB是等腰三角形，进而证明∠AFE＝∠CFD；（2）作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于点Q，结合（1）即可证明∠GQM ＝∠PQN．
【详解】
（1）∵ED垂直平分BC，
∴FC=FB，
∴△FCB是等腰三角形．
∵FD⊥BC，
由等腰三角形三线合一可知：
FD是∠CFB的角平分线，
∴∠CFD=∠BFD．
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AFE=∠CFD．
（2）作点P关于GN的对称点P'，
连接P'M交GN于点Q，
点Q即为所求．
∵QP=QP'，
∴△QPP'是等腰三角形．
∵QN⊥PP'，
∴QN是∠PQP'的角平分线，
∴∠PQN=∠P'QN．
∵∠GQM=∠P'QN，
∴∠GQM=∠PQN．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
25．36
【解析】
【分析】
连接AC ，根据勾股定理求出AC ，根据勾股定理的逆定理求出△CAD 是直角三角形，分别求出△ABC 和△CAD 的面积，即可得出答案．
【详解】
连接AC ，如图所示：
在△ABC 中，
∵∠B =90°，AB =4，BC =3，
∴2222AC AB BC 435=++=，
1143622
ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=， 在△ACD 中，
∵AD =12，AC =5，CD =13，
∴AD 2+AC 2=CD 2，
∴△ACD 是直角三角形，
∴115123022
ACD S AC AD =⋅=⨯⨯=． ∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ACD =6+30=36．
【点睛】 此题主要考查勾股定理的运用，解题关键是将四边形分成两个直角三角形来解.
四、压轴题
26．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272
；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+2或9﹣2或6时，△APQ 为等腰三角形．
【解析】
分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法
即可求得b ；
（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12
P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22
t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则
()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，
即可求得．
详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，
∴3=−m +2，解得m =−1，
∴点P 的坐标为(−1,3)，
把点P 的坐标代入212y x b =
+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =
； (2)∵72
b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，
∴C 点的坐标为(−7,0)，
①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，
∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222
S AQ yP t t =
⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222
S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =
-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴
273322t -<或327 3.22
t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；
设Q (t −7,0)，
当PQ =PA 时,则()()()222
2(71)032103,t -++-=++-
∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)，
当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-
∴2(9)18,t -=
解得9t =+
9t =- 当PQ =AQ 时,则()2
22(71)03(72)t t -++-=--，
∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6. 故当t 的值为3
或9+
9-6时，△APQ 为等腰三角形．
点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.
27．（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）
154；（4）经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；
（2）利用SAS 可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值；
（4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm ，
∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=5cm ．
又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，
∴PC=8﹣3=5cm ，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中， PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇．
由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
28．（1）①详见解析；②
12α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，(10+2)a
【解析】
【分析】
（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；
（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，
∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；
（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，2OF OC a ==，即可求得BF
【详解】
（1）①连接AD ，如图1．
∵点C 与点D 关于直线l 对称，
∴AC = AD ．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1
2
α
故答案为：1
2α．
（2连接CE，如图2．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=1
2
α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，
，
F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，
∵在△BOF中，BO+OF≥BF，
当B、O、F三点共线时BF最长；
如图，过点O作OH⊥BC，
∵∠BAC=90°，2a，
∴24
==，∠ACB=45°，且OH⊥BC，
BC AC a
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC，
∴2
=，
OC HC
∵点O是AC中点，AC2a，
∴2
=，
OC a
==，
∴OH HC a
∴BH=3a，
∴10
=，
BO a
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴∠AFC=90°，
∵点O是AC中点，
∴2
==，
OF OC a
∴102
=，
BF a
∴当B、O、F三点共线时BF最长；最大值为102)a．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE，图③中，AE+BE=CE；（3）1.5或4.5
【解析】
【分析】
=，连接AF，只要证明△AED≌△AFB，进而证出△AFE为等（1）在BE上截取BF DE
边三角形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；
（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进而证出△AFE为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；
（3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在BE上截取BF DE
=，连接AF，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．
∵AD=AC=AB，
∴∠D=∠ABD=1
2
（180°-∠BAC-2x）=60°-x，
∴∠AEB=60-x+x=60°．
∵AC=AB，AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABF=∠ADE，
∵BF DE
=，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，BF=DE，
∴△AFE为等边三角形，
∴EF=AE，
∵AP是CD的垂直平分线，
∴CE=DE，
∴CE=DE=BF，
∴CE+AE= BF+FE =BE；
（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，
∵AE =AE
∴△ACE≌△ADE，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABF=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC，BF=CE，
∴△ACE≌△ABF，
∴AE=AF，∠BAF=∠CAE
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°
∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°
∴△AFE为等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；
图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，
∵AE =AE
∴△ACE≌△ADE，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC，BE=CF，
∴△ACF≌△ABE，
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°
∴△AFE 为等边三角形，
∴EF=AE ，
∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；
（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，
∵CE+AE=BE ，
∴BE-CE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=1.5；
在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；
图③中，若26BD AE ==，则AE=3，
∵AE+BE=CE ，
∴CE-BE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=4.5．。