浙江省杭师大附中2011至2012学年高二上学期期末考试数学理科试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知坐标平面上的两点)0,1(-A 和)0,1(B ，动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2，则 动点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．线段 2．直线
221x y a b
-=在y 轴上的截距是 （ ） A ． b B ． 2
b C ． 2
b - D ． b ± 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线A 1D 与直线B 1M 所成角大小为 （ ） A ．300 B ． 450 C ． 600 D ．900
4．已知两点A （3，2），B （－1，4）到直线03=++y mx 距离相等，则m 值为（ ） A ．210-
或 B ．621-或 C ．2121或- D ．2
1
0或 5．已知点)0,3(M ，椭圆14
22
=+y x 与直线)3(+=x k y 交于点A 、B ，则ABM ∆的周长为 （ ） A ．4 B ． 8 C ． 12 D ． 16
6．已知点(3,4)-P 是双曲线22
221 (0, 0)x y a b a b
-=>>渐近线上的一点，,E F 分别是双
曲线的左、右两个焦点，若0EP FP ⋅=，则双曲线方程为 （ ）
A ．22134x y -=
B ．22143x y -=
C ．221916x y -=
D ．22
1169x y -= 7．设F 是双曲线C ：
22
1169
x y -=的右焦点，l 是双曲线C 的一条渐近线，过F 作一条直线垂直与l ，垂足为P ，则sin OFP ∠的值为 （ ）
A ．53
B ．54
C ．45
D ．3
5
8．设O 为坐标原点，12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在椭圆上存在
点P 满足123
F PF π
∠=，且3||2OP a =，则该椭圆的离心率为 （ ） A ．12 B ．1
4
C ．312-
D ．22
．[1,3]
20．（本题满分10分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=，E 是棱1CC 上 动点，F 是AB 中点 ，2==BC AC ，41=AA . （Ⅰ）求证：CF ⊥平面1ABB ；
（Ⅱ）当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ； （Ⅲ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B -- 的大小是45，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明 理由.
21．（本小题满分12分）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
-2
4
2
y
32-
-4
2
2
（Ⅰ）求12C C 、的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
参考答案
Ⅲ.解答题
18．(1) 定点)0,3(；（2）.1-=k
19．答案：先求出点B 的坐标为)2,2
1
(，点C 的坐标为)1,2(，所以BC 边所在直线方程为
2370x y +-=．
20（Ⅰ）证明：∵三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，∴1BB ⊥平面ABC .
又∵CF ⊂平面ABC ，
∴CF 1BB ⊥ . ∵90ACB ∠=，2AC BC ==，F 是AB 中点， ∴CF AB ⊥.
又∵1
BB ∩AB B =，
∴CF ⊥平面1
ABB . ………………3分
（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，联结EG ，FG . ∵F 、G 分别是棱AB 、1AB 中点，
∴ FG ∥1BB ，1
2FG =
1BB . 又∵EC ∥1BB ，11
2
EC BB =，
∴ FG ∥EC ，FG EC =.
∴ 四边形FG EC 是平行四边形， ∴ CF ∥EG .
又∵CF ⊄平面1AEB ，EG ⊂平面1AEB ，
∴ CF ∥平面1AEB . ………………6分
（Ⅲ）解：以C 为坐标原点，射线1,,CA CB CC 为,,x y z 轴正半轴，建立如图所示的空间直
角坐标系C xyz -，
则(0,0,0)C ,(2,0,0)A ,1(0,2,4)B . 设(0,0,)E m ，平面1AEB 的法向量(,,)n x y z =， 则1(2,2,4)AB =-,(2,0,)AE m =-. 且1AB n ⊥，AE n ⊥.
于是12240,200.
AB n x y z AE n x y mz ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
是直棱柱， 2cos 452m
CA n
=
=
⨯上存在点E ，使得二面角. ……………
所以假设成立，。