【精品提分练习】专题03 解三角形问题快速提分之谈高考数学常考题型

1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，5
cos 25
C =
，1BC =，5AC =，则AB = A ．42 B ．30 C ．29
D ．25
【答案】A 【解析】因为
所以
，选A.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
2．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为
222
4
a b c +-，则C =
A ．
π2 B ．
π3 C ．π4
D ．
π6
【答案】C
【解析】由题可知，所以，由余弦定理
，得，因为，所以，故选C.
3．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o
，45A ∠=o
，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；
（2）若22DC =，求BC .
【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠.
由题设知，
52
sin 45sin ADB
=
︒∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255
ADB ∠=-
=.
4．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2
sin 8sin 2
B
A C +=． （1）求cos
B ；
（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2
sin 8sin 2
B
B =，故()sin 41cos B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15
cos 17
B =．
（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14
=sin 217
△ABC S ac B ac =．
又=2ABC S △，则17
2
ac =
． 由余弦定理及6a c +=得：
()()2
2221715
2cos 21cos 362(1)4,217
b a
c ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯
⨯+= 所以2b =．
【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系
进行“边转角”“角转边”，另外要注意2
2
,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．
1．利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，结合三角函数及其他知识，考查三角形边、角、面积等的相关计算在选择题、填空题、解答题中均可能出现.
2．解三角形问题一直是近几年高考的重点，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题逐渐成为高考的热点．
指点1：利用正弦定理、余弦定理解三角形
利用正弦定理、余弦定理解三角形时，要数形结合，画图分析其中的边角关系，合理使用公式.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.需注意：求角时要用“大边对大角”进行取舍.
【例1】如图，在锐角
中，为边
的中点，且
，
为
外接圆的圆心，且
.
（1）求的值； （2）求
的面积.
【解析】（1）由题设知，，
∴，
∴
，
.
（2）如图，延长
至，使
，连接
，
则四边形为平行四边形，∴
，
在中，
，，
，则
，∴由余弦定
理得，
， 即 ，解得
，∴，
∴
.
指点2：解三角形与其他知识的交汇
1．解三角形与三角函数的交汇，不仅要用到解三角形的相关知识，还要用到三角公式进行恒等变形，对学生应用数学的思想进行分析与解决问题有较高的要求，因此是命题者非常喜欢的考查方式.
2．解三角形与平面向量及不等式的交汇，往往用到向量的数量积、长度及坐标表示及基本不等式，求面积或其最值，要注意相关知识的综合应用. 【例2】已知为ABC △的内角，当5π
12
x =时，函数取得最大值．ABC △的
内角，，的对边分别为，，． （1）求； （2）若
，
，求ABC △的面积．
【解析】（1）
．
由题设知5πsin 16A ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，因为，所以．
（2）根据正弦定理得
14
sin 3
a A =，，．
因为，所以
．
由余弦定理得得
．
因此ABC △的面积为
．
【例3】在ABC △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos ,sin A A =m ,向量
(2sin ,A =-n cos ),A 2+=m n .
(1)求角A 的大小; (2)若42b =,且2c a =
,求ABC △的面积.
【解析】(1)2
+m n =()
()2
2
cos 2sin sin cos A A
A A +-++=()422cos sin 4A A +-=+π4cos 4A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
,
ππ44cos 4,cos 0,44A A ⎛⎫⎛⎫
∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又()0,πA ∈,∴
ππ42A +=,则π
4
A =. (2)由余弦定理得2
2
2
2cos a b c bc A =+-,即()(
)
2
2
2
π
4222422cos
4
a a a =+-⨯⨯, 解得42a =,∴8c =, ∴124281622
ABC S =
⨯⨯⨯=△.
1．在ABC △中,角的对边分别为
,若
,且,则
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】因为,所以.因为,且,所以由余弦定理可
知,
,解得
,即
.故选B ．
2．在ABC △中，
，
，则角的取值范围是
A ．π0,6
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．ππ,42⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．ππ,
62⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．ππ,62⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】因为
sin sin AB BC
C A
=
，所以，所以，
又，则必为锐角，故
.
3．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那
么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．
D ．1
【答案】D 【解析】因为
，所以
，
即
，所以()2221
cos ,0,π22
b c a A A bc +-=
=∈，所以，
因为
，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为113
12sin 23
2
a R A =
⨯=⨯=，故选D ． 4．已知ABC △中,π
2
A =
,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则
sin sin B
C
=__________． 【答案】
32
5．在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+.
(1)求角C ;
(2)若ABC △的面积为3
2
S c =
,求ab 的最小值. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+
()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+=
1
,sin 0,cos .2
B B
C ∴≠∴=-为三角形的内角Q
2π
,.
3C C ∴=又为三角形的内角Q
(2)131sin ,.222
S ab C c c ab =
=∴=Q 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又
22
2234
a b a b ab ab ∴=++≥，
12ab ∴≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故ab 的最小值为12.。