专题80 参数方程-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(教师版)

专题八十 参数方程
【考纲解读】
1．了解参数方程，了解参数的意义．
2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程． 【重点知识梳理】
一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与
参数的关系y ＝g (t )，那么⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝f t ，
y ＝g t 就是曲线的参数方程．
【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程
若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．
(2)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
(3)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos θ，y ＝b tan θ
(θ为参数)．
(4)抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt 2
，y ＝2pt (t 为参数)． 二、直线的参数方程
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0
＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上
两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t 0＝t 1＋t 2
2；
(2)|PM |＝|t 0|＝
t 1＋t 2
2
； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.
【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.
三、极坐标与参数方程的综合应用规律
1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
【高考考点突破】
考点一、参数方程和普通方程的互化 例1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)⎩⎨⎧
x ＝3k 1＋k 2
，y ＝
6k
21＋k 2
；
(2)⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.
【变式探究】已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝t －1
t ，
y ＝3⎝⎛⎭
⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．
解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y
3
，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.
【方法技巧】
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
考点二、直线的参数方程
例1、设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋t cos α，
y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；
(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝5
2
.
(2)法一：由圆C 的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2cos θ，
y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.
由直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋t cos α，
y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜
率存在)，
即kx －y ＋4－3k ＝0.
当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |
k 2＋1
＜2，由此解得k ＞21
20.
即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭
⎫21
20，＋∞. 法二：将圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2cos θ，
y ＝－1＋2sin θ，
化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②
当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2 α，两边同除以cos 2 α，由此解得tan α＞2120
，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 【方法技巧】
1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋at ，
y ＝y 0＋bt (t 为参数)．
当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．
【变式探究】已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．
考点三、极坐标与参数方程的综合应用规律
例3、 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos
θ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨
⎧
x ＝－2＋22t ，
y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．
解：(1)把⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
代入ρsin 2θ＝2a cos θ，
得y 2＝2ax (a ＞0)，
⎩⎨⎧
x ＝－2＋22t ，
y ＝－4＋22
t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，
∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a ＞0)，x －y －2＝0.
(2)将⎩⎨
⎧
x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，
整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1， t 2是该方程的两根，
则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，
∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1.
【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋4
5t
y ＝－1－3
5
t (t 为参数)，若以O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4. (1)求直线l 被曲线C 所截得的弦长；
(2)若M (x ，y )是曲线C 上的动点，求x ＋y 的最大值．
(2)可设圆的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝12＋2
2
cos θy ＝－12＋22sin θ(θ为参数)，
即M ⎝⎛⎭⎫12＋22cos θ，－12＋2
2sin θ，
则x ＋y ＝
22cos θ＋2
2
sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 由于θ ∈R ，则x ＋y 的最大值为1. 【真题感悟】
1.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+
⎪⎩
( t 为参数) ，l 与C 相交
于A ,B 两点，则||AB = .
【答案】52
2．【2015高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x t
y t =-+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44
ππ
ρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.
【答案】(2,)π
【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222
(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为
224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.
3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24
sin(2=-）π
θρ，
点A 的极坐标为
74
A π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，则点A 到直线l 的距离为 .
4.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=． （I ）写出C 的直角坐标方程；
（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I
）(2
2
3x y +-=；
（II ）()3,0． 【解析】
（I
）由ρθ=
，得2sin ρθ=，
从而有22+x y =
，所以(2
2
+3x y =.
(II)
设1(32P +
，又
，则|PC |==，
故当0t =时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0. 1．（2014·福建卷） (Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． (Ⅱ)解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝≤4，
解得－25≤a ≤2 5.
2．（2014·重庆卷）已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．
【答案】5
3．（2014·辽宁卷）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，
由x 21＋y 2
1＝1得
x 2
＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2
4
＝1. 故C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，
y ＝2sin t (t 为参数)．
【高考押题】
1．已知圆锥曲线⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．
(1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．
(2)方法一：直线AF 2的斜率k ＝0－3
1－0＝－3，倾斜角是120°.设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，
则根据正弦定理得ρsin60°＝1
sin 120°－θ ，
即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.
方法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，
将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程 ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.
2．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐
标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝
4cos θ.
(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 答案 (1)A (0,0)，B (22，7π
4
)
(2)⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎨⎧
x ＝－1－4
5t ，
y ＝1＋3
5
t (t 为参数)
3．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π
4)＝m (m >0)的距离为3.
(1)求实数m 值；
(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什
么图形．
答案(1)m＝2(2)(x＋
2
8)
2＋(y－2
8)
2＝1
16，轨迹是以(
1
4，
3π
4)为圆心，
1
4为半径的圆
4．已知圆ρ＝2，直线l：ρcosθ＝4，过极点作射线交圆于A点，交直线l于B点，直线l与极轴的交点为N.
(1)求AB中点M的轨迹的极坐标方程；
(2)判断△OMN能否为等边三角形，并说明理由．
答案(1)ρ＝2
cosθ＋1(2)△OMN不可能为等边三角形
5．已知直线l ：ρsin(θ－π4)＝4和圆C ：ρ＝2k ·cos(θ＋π
4)(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离
等于2.
(1)求圆心C 的直角坐标； (2)求k 值． 答案 (1)C (
22k ，－2
2
k ) (2)k ＝－1
6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－3t ，
y ＝4＋t
(t 为参数)．以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求线段MN 的长．
7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)
中，点P 的极坐标为⎝
⎛⎭
⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
8．直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，
y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足
OP ＝2
OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2
的异于极点的交点为B ，求|AB |.
9．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝2cos α，y ＝3sin α
(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3.
(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离
d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ)－43|2，其中tan φ＝1
2. 当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝
15＋43
2
，
15＋43即点P到直线l的距离的最大值为
2.
：。