空间两点间的距离公式-高中数学知识点讲解(含答案)

空间两点间的距离公式（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共6 小题）
1．（2016 秋•大兴区期末）在空间直角坐标系O xyz 中，点B 是点A(1，2， 3) 在坐标平面yOz 内的射影，则| OB |
等于 ( )
A．14 B．13 C． 2 3 D．11
2．（2013 秋•东城区期末）设点P(a ，b ，c) 关于原点的对称点为P，则| PP |等于 ( ) A．B．C．D．
2 a b c a2 b2 c2 | a b c | 2 | a b c |
2 2 2
3．（2013 春•东城区期末）若已知A(1，1，1) ，B(3，3，3) ，则线段AB 的长为 ( ) A． 4 3 B． 2 3 C． 4 2 D．3 2
4．（2011 秋•朝阳区期末）已知向量a ( 2 ，3，1) ，b (1，1， 0) ，则| a b | ( ) A．26 B．14 C．2 D． 6
5．（2010 秋•朝阳区期末）在空间直角坐标系中，空间点A(1，3，1) ，B(1，2， 0) ，则| AB | 等于 ( ) A． 6 B． 5 C． 3 D． 2
6．（2009 春•西城区期末）在空间直角坐标系中，两点，0，和，4，的距离是
A(1 2) B( 2 3) ( ) A．5 B．5 2 C．3 D．3 2
二．填空题（共7 小题）
7．（2018 春•昌平区期末）已知点，，，，1，，则．
A(2 1 3) B(3 2) | AB |
8．（2017 秋•昌平区期末）在空间直角坐标系O xyz 中，点A(3，1，2) ，B(1，1， 4) ，则线段AB 的中点到原点O 的距离为．
9．（2015 秋•大兴区期末）在空间直角坐标系中，点M (0 ，2，1) 和点N(1，1， 0) 的距离是．10．（2016 秋•西城区校级期中）在空间直角坐标系O xyz 中，点A (1 ，2，3 ) 关于坐标平面xOy 对称点的坐标
为，则点与点，，2 之间的距离为．
A B (2 1 )
11．（2014 秋•朝阳区期末）在空间直角坐标系中，点 (4 ，1， 2) 与原点的距离是．
12．（2014 秋•大兴区期中）空间坐标系oxyz 中，点A 在x 轴上，点B(1，0， 2) ，且| AB | 5 ，则点A 坐标
为．
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13．（2013 秋•昌平区期末）在空间直角坐标系中，已知点A(1，0， 2) ，B(1，3，1) ，则| AB |．
三．解答题（共1 小题）
14．（2015 秋•怀柔区期末）已知正方形ABCD 的边长为 2，PA 平面ABCD ，且PA 2 ，E 是PD 中点．以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
A xyz
（Ⅰ）求点A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标；
（Ⅱ）求| CE | ．
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空间两点间的距离公式（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6 小题）
1．（2016 秋•大兴区期末）在空间直角坐标系O xyz 中，点B 是点A(1，2， 3) 在坐标平面yOz 内的射影，则| OB | 等于 ( )
A．14 B．13 C． 2 3 D．11
【分析】根据点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面yOz 内的正射影，得到B 在坐标平面yOz 上，竖标和纵标与A 相同，而横标为 0，写出B 的坐标是 (0 ，2，3) ，利用两点之间的距离公式得到结果．
【解答】解：Q点B 是点A(1，2，3) 在坐标平面yOz 内的正射影，
B 在坐标平面yOz 上，竖标和纵标与A 相同，而横标为 0，
B 的坐标是 (0 ，2，3) ，
| OB |22 33 13
，
故选：B ．
【点评】本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题，本题的运算量比较小，是一个必得分题目．
2．（2013 秋•东城区期末）设点P(a ，b ，c) 关于原点的对称点为P，则| PP |等于 ( ) A．B．C．D．
2 a b c a 2 b 2 c2 | a b c | 2 | a b c |
2 2 2
【分析】由于点P(a ，b ，c) 关于原点的对称点为P ( a ， b ，c) ，再利用两点间的距离公式即可求出所求．【解答】解：点P(a ，b ，c) 关于原点的对称点为P ( a ， b ，c) ．
| PP |(a (a )) (b (b )) (c (c )) 2
a b c
2 2 2 2 2 2
．
故选：A ．
【点评】本题考查了空间中关于坐标原点的对称点问题、两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握空间两点的距离公式，属于基础题．
3．（2013 春•东城区期末）若已知A(1，1，1) ，B (3，3，3) ，则线段AB 的长为 ( ) A． 4 3 B． 2 3 C． 4 2 D．3 2
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【分析】利用两点之间的距离求得AB 的长．
【解答】解：
| AB |(1 3) (1 3) (1 3) 4 3
2 2 2
故选：．
A
【点评】本题主要考查了空间两点间的距离公式．属基础题．
4．（2011 秋•朝阳区期末）已知向量( 2 ，3，，，，，则
a 1)
b (1 1 0) | a b | ( )
A．26 B．14 C．2 D． 6
【分析】根据已知条件求出两个向量的和即a b (1, 2,1) ，再结合空间向量求模的公式求出答案即可．
【解答】解：因为( 2 ，3，，，，，
a 1)
b (1 1 0)
所以a b (1, 2,1)
所以．
| a r b | 1 4 1 6
故选：D ．
【点评】解决此类问题的关键是进行正确的运算以及掌握向量的模的计算公式．
5．（2010 秋•朝阳区期末）在空间直角坐标系中，空间点A(1，3，1) ，B(1，2， 0) ，则| AB | 等于 ( ) A． 6 B． 5 C． 3 D． 2
【分析】利用空间两点间距离公式的计算即可得出结果．
【解答】解：Q点A(1，3，1) ，B(1，2， 0) ，
则．
| AB |(11) (3 2) (1 0) 6
2 2 2
故选：．
A
【点评】熟练掌握空间两点间距离公式是解题的关键，是基础题．
6．（2009 春•西城区期末）在空间直角坐标系中，两点A(1，0，2) 和B( 2 ，4，3) 的距离是 ( ) A．5 B．5 2 C．3 D．3 2
【分析】根据题意结合空间中两点的距离公式可计算出答案．
【解答】解：由题意可得：在空间直角坐标系中，两点(1，0，和，4，，
A 2) B( 2 3)
根据空间中两点的距离公式可得：．
| AB |(1 2)2 (0 4)2 ( 2 3)2 5 2
故选：B ．
【点评】解决此类问题的关键是熟练记忆有关公式，即空间中两点的距离公式，并且加以准确的运算．
二．填空题（共7 小题）
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7．（2018 春•昌平区期末）已知点，，，，1，，则．
A (2 1 3) B(3 2) | A
B | 6
【分析】计算AB ，利用摸的计算公式即可得出．
【解答】解：AB (1，2，1) ，
| AB || AB | 1 2 (1)
6
2 2 2
．
故答案为： 6 ．
【点评】本题考查了向量坐标运算法则、模的计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2017 秋•昌平区期末）在空间直角坐标系O xyz 中，点A(3，1，2) ，B(1，1， 4) ，则线段AB 的中点到原点O 的距离为 5 ．
【分析】根据题意，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标可得M 的坐标，由空间两点间的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设AB 的中点为M ，
若(3，，，，1，，则的坐标为，0，，
A 1 2) B(1 4) M (2 1)
有，
| MO | 4 0 1 5
故答案为： 5
【点评】本题考查空间两点的距离计算，涉及中间坐标公式，属于基础题．
9．（2015 秋•大兴区期末）在空间直角坐标系中，点，2，和点，1，的距离是．
M (0 1) N( 1 0) 3
【分析】根据所给的两个点的坐标和空间中两点的距离公式，代入数据写出两点的距离公式，做出最简结果，不能再化简为止．
【解答】解：点，2，和点，1，，
Q M (0 1) N( 1 0)
| MN |(0 1) (2 1) (1
0) 3
2 2 2
，
故答案为： 3 ．
【点评】本题考查两点之间的距离公式的应用，是一个基础题，这种题目在计算时只要不把数据代入出现位置错误，就可以做出正确结果．
10．（2016 秋•西城区校级期中）在空间直角坐标系O xyz 中，点A (1 ，2，3 ) 关于坐标平面xOy 对称点的坐标为
(1 ，2，3) ，则点A 与点B (2 ，1，2 ) 之间的距离为．
【分析】点，，关于坐标平面对称点的坐标为，，，利用两点间点距离公式能求出点与点
(a b c ) xOy (a b c) A B
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之间的距离．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
O xyz
点A (1 ，2，3 ) 关于坐标平面xOy 对称点的坐标为 (1 ，2，3) ，
点A 与点B (2 ，1，2 ) 之间的距离为：
| AB |(2 1)2 (1 2)2 (2 3)2 1 9 1 19
．
故答案为： (1 ，2，3) ，19 ．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离公式的求法，考查空间直角坐标系、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11．（2014 秋•朝阳区期末）在空间直角坐标系中，点 (4 ，1， 2) 与原点的距离是21．
【分析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：根据两点间的距离公式得点，，与原点的距离是，
(4 1 2) 42 (1)2 22 16 1 4 21
故答案为：21
【点评】本题主要考查空间两点间的距离公式的计算，比较基础．
12．（2014 秋•大兴区期中）空间坐标系oxyz 中，点A 在x 轴上，点B(1，0， 2) ，且| AB | 5 ，则点A 坐标为
(0 ，0， 0) 或 (2 ，0， 0) ．
【分析】根据点A 在x 轴上，设点A(x ，0， 0) ，再由| AB | 5 结合空间两点距离公式，建立关于x 的方程，解得x 值，从而得到点坐标．
A
【解答】解：点在轴上，
Q A x
可设点A(x ，0， 0) ，
又Q B(1，0， 2) ，且| AB | 5 ，
，
(x 1)2 (0 0)2 (0 2)2
5
解之得x 0 或 2，所以点A 坐标为： (0 ，0， 0) 或 (2 ，0， 0) ；
故答案为： (0 ，0， 0) 或 (2 ，0， 0) ；
【点评】本题给出x 轴上一点到空间两个已知点的距离相等，求该点的坐标，着重考查了空间两点的距离公式和含有根号的方程的解法，属于基础题．
13．（2013 秋•昌平区期末）在空间直角坐标系中，已知点A(1，0， 2) ，B(1，3，1) ，则| AB |10 ．
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【分析】利用空间两点间距离公式的计算即可得出结果．
【解答】解：Q点A(1，0， 2) ，B(1，3，1) ，
则．
| AB |(11) (0 3) (2 1) 10
2 2 2
故答案为：10 ．
【点评】熟练掌握空间两点间距离公式是解题的关键，是基础题．
三．解答题（共1 小题）
14．（2015 秋•怀柔区期末）已知正方形的边长为 2，平面，且，是中点．以为原
ABCD PA ABCD PA 2 E PD A 点，建立如图所示的空间直角坐标系．
A xyz
（Ⅰ）求点，，，，，的坐标；
A B C D P E
（Ⅱ）求| CE | ．
【分析】（Ⅰ）利用空间直角坐标系的性质能求出点，，，，，的坐标．
A B C D P E
（Ⅱ）先求出向量CE ，再求| CE | 的长．
【解答】（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）正方形的边长为 2，平面，且，是中点．
Q ABCD PA ABCD PA 2 E PD
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
A A xyz
A(0 ，0， 0) ，B(2 ，0， 0) ，C(2 ，2， 0) ，
D(0 ，2， 0) ，P(0 ，0， 2) ，E(0 ，1，1) ．
（Ⅱ），，，
Q CE ( 2 1 1)
| CE | 4 1 1 6
．
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【点评】本题考查点的坐标的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
第8页（共8页）。