2020-2021学年四川省广安市高一下学期期末考试数学试卷(理科)(解析版)

四川省广安市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷
（理科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．已知a＞b且a，b∈R，下列不等式正确的是（）
A．B．b﹣a＜0 C．D．a+b＞0
2．在等差数列{a n}中，若a4＝5，则数列{a n}的前7项和S7＝（）
A．15 B．20 C．35 D．45
3．已知，则＝（）
A．B．C．D．
4．设m，n表示不同直线，α，β，γ表示不同平面，下列叙述正确的是（）
A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
5．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256
6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是，则a＝（）
A．B．3 C．D．2
7．已知实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（）
A．B．C．8 D．4
8．在△ABC中，已知a＝2b cos C，且sin2A＝sin2B+sin2C，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
9．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
10．已知数列{a n}满足a n+1＝，a1＝1，数列{b n}满足b1＝1，b n﹣b n﹣1＝（n≥2），则b8＝（）
A．64 B．81 C．80 D．82
11．在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝AC＝BC＝，则三棱锥P﹣ABC 外接球的表面积是（）
A．9πB．π C．4πD．π
12．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，c＝2b，△ABC的面积为2，则a 的最小值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．sin74°cos14°﹣cos74°sin14°的值为．
14．若，则目标函数z＝x﹣y的取值范围是．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别为CD，DD1，AD的中点，则异面直线A1M与EF所成角的余弦值为．
16．已知函数f（x）＝，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝2，a n+2＝f（a n），若a2020＝a2022，则a7+a8的值为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣＜0，k≠0．
（1）若k＝，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
18．已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），前n项和为S n，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b＝，求{b n}的前n项和为T n．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C+c sin B cos A＝b，且a ＞b．
（1）求角B的值；
（2）若A＝，且△ABC的面积为4，求BC边上的中线AM的长．
20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AA1⊥平面ABCD，AD＝BD＝3，AB＝3，E是CD1的中点．
（1）证明：AD1∥平面BDE；
（2）若AA1＝4，求三棱锥D1﹣BDE的体积．
21．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f（x）（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式
为f（x）＝，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
（1）求年利润g（x）（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润＝销售额﹣投入成本﹣固定成本）；
（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
——★参*考*答*案★——
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B
『解析』对于A，当a＞b＞0时，＜，故A错误；
对于B，因为a＞b，所以b﹣a＜0，故B正确；
对于C，当a＞0＞b时，＜0，故C错误；
对于D，取a＝1，b＝﹣2，则a+b＝﹣1＜0，故D错误．
故选：B．
2．C
『解析』因为a4＝5，所以S7＝（a1+a7）＝7a4＝35．故选：C．
3．D
『解析』＝cos[2（α+）]＝1﹣2＝1﹣2×＝．故选：D．
4．D
『解析』选项A中若m∥α，m∥n，则n∥α，还有直线n在平面α内的情况，故A不正确，
选项B中若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β，有可能两个平面相交，故B不正确，
选项C中若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，还有两个平面相交的可能，故C不正确．
选项D，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，满足直线与平面垂直的性质，所以D 正确；
故选：D．
5．C
『解析』因为a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，
所以a1•a19＝a102＝16，又此等比数列为正项数列，
解得：a10＝4，
则a8•a10•a12＝（a8•a12）•a10＝a103＝43＝64．
故选：C．
6．B
『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为三棱锥体A﹣BCD；
如图所示：
所以，解得a＝3．故选：B．
7．C
『解析』∵实数a＞0，b＞0，是4a与2b的等比中项，∴2＝4a•2b，∴2a+b＝1．
则＝（2a+b）＝4++≥4+2＝8，当且仅当b＝2a＝时取等号．其最小值是8．故选：C．
8．B
『解析』由于在△ABC中，已知a＝2b cos C，
利用余弦定理：a＝2b，整理得：b＝c，
由于sin2A＝sin2B+sin2C，所以a2＝b2+c2，故A＝，
所以△ABC为等腰直角三角形．故选：B．
9．A
『解析』如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
则平面PAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
而平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD．
连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，
则∠CED为CE与底面PAD所成角，
设PA＝AB＝AD＝2a，则AE＝a，ED＝，
EC＝．
∴sin．
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为．故选：A．
10．A
『解析』数列{a n}满足a n+1＝，可得＝2，
所以数列{}是等差数列，首项为：1，公差为2，所以＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，b n﹣b n﹣1＝2n﹣1（n≥2），
b2﹣b1＝2×2﹣1，
b3﹣b2＝2×3﹣1，
•••
b8﹣b7＝2×8﹣1
则b8＝1+2（2+3+4+5+6+7+8）﹣7＝2×﹣6＝64．
故选：A．
11．D
『解析』如图，
设正三棱锥P﹣ABC的底面中心为G，连接PG，则PG⊥平面ABC，
再设正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，则O在PG上，
∵AB＝AC＝BC＝，∴AG＝，
又PA＝，∴PG＝．设球O的半径为R，在Rt△OGA中，有AG2+OG2＝OA2，即12+（2﹣R）2＝R2，解得R＝．
∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4π×＝．故选：D．
12．D
『解析』△ABC中，c＝2b，
又△ABC的面积为S△ABC＝bc sin A＝b•2b•sin A＝2，∴b2＝，
∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4b2﹣2b•2b cos A＝b2（5﹣4cos A）＝（5﹣4cos A），
设t＝，t＞0，可得5＝t sin A+4cos A＝sin（A+θ）≤，
可得t≥3，即有a2≥6，即a≥，可得a的最小值为．故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．
『解析』sin74°cos14°﹣cos74°sin14°＝sin（74°﹣14°）＝sin60°＝．故答案为：
．
14．[﹣2，2]
『解析』作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y＝x﹣z，当直线y＝x﹣z经过点C时，直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点B时，此时直线y＝x﹣z截距最大，z最小．
由，解得，即C（2，0），此时z max＝2．
由，解得，即B（0，2），此时z min＝0﹣2＝﹣2．
∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．
15．
『解析』连接BM，A1B，D1C，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别为CD，DD1，AD的中点，
∴EF∥D1C，∵D1C∥A1B，∴EF∥A1B，
∴∠BA1M是异面直线A1M与EF所成角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1M＝BM＝＝，A1B＝＝2，
∴异面直线A1M与EF所成角的余弦值为：
cos∠BA1M＝＝＝．故答案为：．
16．
『解析』根据题意可得a n+2＝f（a n）＝，又a1＝2，所以a3＝＝，a5＝
＝，a7＝＝，
由于数列{a n}的各项均为正数，所以设a2020＝a2022＝m＞0，则m＝，解得m＝1或m＝﹣2（舍去），
所以a2020＝a2022＝1，根据a n+2＝可知a2022＝a2020＝a2018＝…＝a2＝1，所以a8＝1，所以a7+a8＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）因为，关于x的不等化为，即2x2+x﹣3＜0，
解集为，
（2）∵关于x的不等式的解集为R．∴分情况讨论，
当2k＝0，即k＝0时，原不等式为，恒成立，
当2k≠0，即k≠0时，，解得﹣3＜k＜0，
综上，故k的取值范围为（﹣3，0]．
18．解：（1）由3a2是2a3与4a1的等差中项，得6a2＝2a3+4a1，即，
又a1≠0，可得q2﹣3q+2＝0，由于q≠1，解得q＝2．由，
解得a1＝2，因此；
（2）由（1）得，所以，
所以
＝﹣．
19．解：（1）因为a sin B cos C+c sin B cos A＝b，
由正弦定理得sin A sin B cos C+sin C sin B cos A＝sin B，
整理得sin A cos C+sin C cos A＝，即sin（A+C）＝，得sin B＝．
又a＞b，所以0，可得B＝．
（2）由（1）知B＝，若A＝，
则S△ABC＝ab sin C＝＝4，所以a＝4，a＝﹣4（舍）．
又在△AMC中，AM2＝AC2+MC2﹣2AC•MC cos，
所以AM2＝AC2+（AC）2﹣2AC•AC cos＝42+22﹣2×＝28，所以AM＝2．
20．解：（1）证明连结AC，交BD于点O，连结OE，
∵底面ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，
∵E是CD1的中点，∴OE∥AD1，
∵AD1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴AD1∥平面BDE．
（2）解：过B作BH⊥CD于H，
在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D∥A1A，
∵AA1⊥平面ABCD，∴DD1⊥平面ABCD，
∵BH⊂平面ABCD，∴BH⊥DD1，
∵BH⊥CD，DD1∩CD＝H，DD1⊂面D1DCC1，CD⊂面D1DCC1，
∴BH⊥平面DD1E，
在平行四边形ABCD中，△ADB≌△CBD，
∵DA＝DB＝3，AB＝3，∴AD⊥BD，
∴CB⊥BD，BH＝，
∵＝＝3，
∴三棱锥D1﹣BDE的体积为：
＝＝＝3．
21．解：（1）当0＜x＜20时，g（x）＝300x﹣（5x2+150x）﹣500＝﹣5x2+150x﹣500，当x≥20时，g（x）＝＝，
∴g（x）＝．
（2）当0＜x＜20时，g（x）＝﹣5x2+150x﹣500＝﹣5（x﹣15）2+625，
当x＝15时，g（x）取得最大值g（15）＝625，
当x≥20时，，
当且仅当，即x＝80时，等号成立，
当x＝80时，g（x）取得最大值g（80）＝1040，
综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．。