惯性矩、静矩,形心坐标公式

§I −1 截面的静矩和形心位置
如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分表一任意截面，以下两积分
ïþï
ý
ü==ò
òA z S A y S A y A
z d d （I −1）
分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。

轴的静矩。

静矩可用来确定截面的形心位置。

由静力学中确定物体重心的公式可得心的公式可得
ï
ïþï
ïýü==
òòA A z z A A y y A
C A
C
d d
利用公式（I −1），上式可写成，上式可写成
ï
ïþï
ï
ý
ü====òòA S A A z z A S
A A
y y y A C z A C d d （I −2） 或
þ
ýü
==C y C z Az S Ay S （I −3）
ïïþïýü=
=A S z A S y y C z C
（I −4）
如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对
d A 
C 
Zz 
y 
y y C 
Z c 
O 
图I −1 
Z 
同一坐标轴的静矩的代数和。

即：同一坐标轴的静矩的代数和。

即：
ïï
þï
ïýü==åå==n
i ci i y n
i ci i z z A S y A S 11（I −5）
式中A i 、
y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。

单图形的个数。

将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为
ïïïïïþïïïïýü=
=ååå
å====n
i i
n
i c i
i
c n
i i
n
i c i i c A
z
A z A y A y 1
1
11
（I −6）
例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。

面的形心位置。

解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。

因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。

将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则Ⅱ两个矩形，则
A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ
=0.08m 2
y Ⅰ=0.46m ，
y Ⅱ=0.2m y C
0.12m 
0.4m 
y Ⅱ
y
Ⅰ
Ⅰ
0.6m 0.2m 
O
y
z
Ⅰ
Ⅱ
C ⅠⅠ
C
Ⅱ
C
例题I −1图
II
II I I 1+å=y A y A i d A
ρ
y
O
z
z
z
d A
C
z 1 
y 1 
y 1 
a
b
O
z 1 
y
z
y
2
2
22y 1 
y
z 1 
z
α
α
α
d A
z 1 
z
y
y 1 
O
I I -22
24)(yz y z I I I +--2
24)(yz
y z I I I +-ïïþïïýü+
--++-+22224)(14)(2
12yz
y z y z yz y z y z I I I I I I
2II
II II 2I I I I I I 0
a A I a A I I
z z z +++=
2
3
2
3
123
.04.02.012
4.02.0137.012.06.012
12.06.0´´+´+
´´+´=
42
m
1037.0-´=
截面对y 0轴惯性矩为轴惯性矩为
42
3
3II I m 10242.0122.04.0126.012.0000-´=´+´=+=y
y y I I I。