2018_2019学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入章末复习课件北师大版

2＋a a－2 且在虚轴上， 标为 ， 2 2
所以2＋a＝0，即a＝－2.
1
2
3
4
解析
答案
3.设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数，若 z· z i＋2＝2z，则 z 等于
A.1＋i √
解析
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
解
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
z－5i a－2i a－2i2＋i 2a＋2＋a－4i 又∵ ＝ ＝ ＝ 为纯虚数， 5 2－i 2－i 2－i2＋i
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
解答
z ②求 的模. 1－i
解 －1＋3i －1＋3i1＋i z ＝ ＝ 1－i 1－i 1－i1＋i
数 a 的值： (1)z 是实数；
解
由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a2－4≠0，解得a≠±2. 由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，得a＝－5或a＝3， ∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.
解答
(2)z是虚数； 解 由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
1 ∴sin θ＝4，又 θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
2
1 π 5π 因此 sin θ＝2，∴θ＝6或 θ＝ 6 .
解答
反思与感悟
根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对
应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点， 或者用向量相等直接给出结论.
跟踪训练 3 的点位于
2 2 在复平面内，设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数 z ＋z 对应
z2＋z1 ＝
z1＋(z2＋z3) .
，(z1＋z2)＋z3＝
[思考辨析 判断正误] 1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) 2.原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) 3.方程x2＋x＋1＝0没有解.( × )
题型探究
类型一 复数的概念
例 1
2 a ＋2a－15 2 已知复数 z＝a －a－6＋ i，分别求出满足下列条件的实 2 a －4
因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
2 x －3x－3>0， 所以log2x－3＝0， x－3>0，
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
解答
(2)z为虚数. 解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
2 x －3x－3>0， 所以log2x－3≠0， x－3>0，
3＋ 21 解得 x> 2 且 x≠4.
3＋ 21 所以当 x> 2 且 x≠4 时，z 为虚数.
解答
类型二 复数的四则运算
例2 －2 3＋i 2 2 018 4－8i2－－4＋8i2 (1)计算： ＋1＋i ＋ ； 1＋2 3i 11－ 7i
解
i1＋2 3i 2 21 009 4－8i＋8i－44－8i＋4－8i 原式＝ ＋1＋i ＋ 1＋2 3i 11－ 7i
且a2－4≠0，得a无解， ∴不存在实数a，使z为纯虚数.
解答
反思与感悟
(1) 正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念
(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
跟踪训练 1 (1)z∈R； 解
复数 z ＝ log3(x2 － 3x － 3) ＋ ilog2(x － 3) ，当 x 为何实数时：
－4＋2i ＝ 2 ＝－2＋i，
z ∴1－i＝|－2＋i|＝ －22＋12＝ 5.
解答
类型三 数形结合思想的应用
例3 已知复平面内点 A，B 对应的复数分别是 z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ
→ ＋icos 2θ，其中 θ∈(0，π)，设AB对应的复数为 z. (1)求复数 z；
10 ∵|z|－ z ＝ ，∴|z|－ z ＝2＋4i，则 a2＋b2－a＋bi＝2＋4i， 1－2i
2 2 a ＋ b －a＝2， a＝3， ∴ 解得 b＝4， b＝4，
∴z＝3＋4i.
1
2
3
4
解析
答案
规律与方法
1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的
第四章 数系的扩充与复数的引入
章末复习
学习目标
1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件. 2.理解复数的几何意义. 3.掌握复数的相关运算.
内容索引
知识梳理
题型探究
达标检测
知识梳理
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它
的 实部 和虚部 .若b＝0，则a＋bi为实数，若 b≠0 a＝0且b≠0 若 a＝ ，则a＋bi为纯虚数 . c且b＝d ，则a＋bi为虚数，
A.1
解析
B.－1
4i 4i ＝ 2 ＝i. 2 z z －1 1 ＋2 －1
C.i √
D.－i
1
2
3
4
解析
答案
2＋ai 2.复数 z＝ (a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则 a 等于 1＋i
A.2
解析
B.－1
C.1
D.－2 √
2＋ai 2＋ai1－i 2＋a＋a－2i z＝ ＝ ＝ 在复平面内对应的点的坐 2 1＋i 1＋i1－i
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.
(3)z是0.
解 由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
解答
引申探究 本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出 a，若不存在，请说明理由. 解 由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，
A.第一象限 √ C.第三象限
解析
B.第二象限 D.第四象限
2 2 2 2 2 ∵ z ＋z ＝ ＋(1＋i) ＝ ＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i， 1＋i 1＋i
2 2 ∴复数 z ＋z 对应点的坐标为(1,1)，
故在第一象限.
解析 答案
达标检测Biblioteka 4i 1.若 z＝1＋2i，则 等于 z z －1
关键是将分母实数化.
2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现.
3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.
本课结束
跟踪训练 2
z (1)已知 ＝2＋i，则复数 z 等于 1＋i
A.－1＋3i
B.1－3i √
C.3＋i
解析
D.3－i
z ∵ ＝2＋i，∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i， 1＋i
∴z＝1－3i.
解析
答案
z－5i (2)已知 z 是复数，z－3i 为实数， 为纯虚数(i 为虚数单位). 2－i ①求复数 z；
；
；
(ac－bd)＋(ad＋bc)i ； ③乘法：z1· z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝
z1 a＋bi a＋bic－di ac＋bd bc－ad ④除法：z ＝ ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i(c＋di≠0). c＋di c＋dic－di c ＋d c ＋d 2
(2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2
＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
解答
z2－3z＋6 (2)已知 z＝1＋i，求 的模. z＋1
解 z2－3z＋6 1＋i2－31＋i＋6 3－i ＝ ＝ ＝1－i， z＋1 2＋i 2＋i
z2－3z＋6 ∴ 的模为 2. z＋1
解答
反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi) ÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化. (2)虚数单位i的周期性 ①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)； ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋).
2.复数的几何意义 一一对应 (1)复数z＝a＋bi← ― ― ― ― ― ― ― → 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). 一一对应 → (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) ← ― ― ― ― ― ― ― → 平面向量OZ .
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (a＋c)＋(b＋d)i ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔
a＝c，b(a ＋， d＝ 0 c，d∈R). b， (a，b，c，d∈R).
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面. x轴 叫作实轴，
y轴 叫作虚轴.实轴上的点都表示 实数 ；除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ；各象限内的点都表示非纯虚数. (5) 复数的模：设复数 z＝ a＋ bi 在复平面内对应的点是 Z(a， b) ，点 Z到原 2 2 a ＋ b 点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝_________ (a，b∈R).
解
由题意得 z ＝ z2 － z1 ＝－ cos2θ － sin2θ ＋ (cos 2θ － 1)i ＝－ 1 ＋ ( －
2sin2θ)i＝－1－2isin2θ.
解答
1 (2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y＝2x 上，求 θ 的值.
解
由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).
1 1 2 由点 P 在直线 y＝2x 上，得－2sin θ＝－2，
所以 z· z i＋2＝2z，
即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi， 根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b， 解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
1 2 3 4
解析
答案
10 4.若复数 z 满足|z|－ z ＝ ，则 z＝______. 3＋4i 1－2i
解析 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， z ＝a－bi，