高中数学(苏教版选修2-1)课件第1章 常用逻辑用语 3.1
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立”.
要点一 全称量词与全称命题 例1 试判断下列全称命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋2>0；
解 由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0， 即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.
(2)∀x∈N，x4≥1；
解 由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，
所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.
行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句
(3)(4)是命题.
[预习导引] 1.全称量词和全称命题 (1)全称量词：短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中 通常叫做 全称量词 ，并用符号 “∀” 表示. (2)全称命题：含有 全称量词 的命题叫做全称命题.全称命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M， p(x) ，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
∴只要 m<－ 2即可.
∴所求 m 的取值范围是(－∞，－ 2).
(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值
范围. 解 令y＝sin x＋cos x，x∈R， π ∵y＝sin x＋cos x＝ 2sin(x＋4)∈[－ 2， 2].
又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
7 7 解得 a≥4，∴实数 a 的取值范围为[4，＋∞).
(2)若命题 p： 1－sin 2x＝sin x－cos x 是真命题，求实数 x 的取值范围.
解 由 1－sin 2x＝sin x－cos x，
得 sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cos x，
解 2是素数，但2不是奇数.
所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.
(2)∀x∈R，x2＋1≥1； 解 ∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.
所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数.
解
2是无理数，但( 2)2＝2 是有理数.
所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假
命题.
要点二 存在量词与存在性命题
例2 判断下列命题的真假：
(1)∃x0∈Z，x3 0<1；
解 ∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“∃x0∈Z，x3 0<1”是真命题.
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
解 真命题，如梯形.
(3)有一个实数α，使tan α无意义； π 解 真命题，当 α＝2时，tan α 无意义. π (4)∃x0∈R，cos x0＝2. π 解 ∵当 x∈R 时，cos x∈[ －1,1] ，而2>1， π ∴不存在 x0∈R，使 cos x0＝2， ∴原命题是假命题.
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立. 所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.
规律方法
判断全称命题为真时，要看命题是否对给定
集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反
例进行否定.
跟踪演练1 判断下列全称命题的真假： (1)所有的素数是奇数；
所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.
要点三 全称命题、存在性命题的应用 例3 (1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立.求实
数m的取值范围；
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R， π ∵y＝sin x＋cos x＝ 2sin(x＋4)≥－ 2， 又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
规律方法
存在性命题是含有存在量词的命题，判定
一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元 素满足命题结论即可.
跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假：
(1)有一个实数 x0，使 x2 0＋2x0＋3＝0；
解 由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在.
所以，存在性命题“有一个实数 x0，使 x2 0＋2x0＋3＝0”是 假命题.
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； 解 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， 因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线. 所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”
是假命题.
(3)有些整数只有两个正因数. 解 由于存在整数3只有两个正因数1和3，
2.存在量词和存在性命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻 辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号 “∃” 表示.
.存在
性命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为
∃x0∈M，p(x0)，读作 “ 存在 M 中的一个元素 x ，使 p(x ) 成 0 0
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数.
答：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数， 无法判断它们的真假，因而不是命题. 语句 (3) 在 (1) 的基础上，用短语 “ 对所有的 ” 对变量 x 进行 限定； 语句 (4) 在 (2) 的基础上，用短语 “ 对任意一个 ” 对变量 x 进
第1章——
1.3
[学习目标]
全称量词与存在量词
1.3.1 量
词
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的
含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数 学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
∴只要 m< 2即可，
∴所求 m 的取值范围是(－∞， 2).
规律方法
有解和恒成立问题是存在性命题和全称命
题的应用，注意二者的区别.
跟踪演练3
(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0
的解集非空，求实数a的取值范围；
解 关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
要点一 全称量词与全称命题 例1 试判断下列全称命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋2>0；
解 由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0， 即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.
(2)∀x∈N，x4≥1；
解 由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，
所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.
行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句
(3)(4)是命题.
[预习导引] 1.全称量词和全称命题 (1)全称量词：短语“所有”“每一个”“任意”在逻辑中 通常叫做 全称量词 ，并用符号 “∀” 表示. (2)全称命题：含有 全称量词 的命题叫做全称命题.全称命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M， p(x) ，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
∴只要 m<－ 2即可.
∴所求 m 的取值范围是(－∞，－ 2).
(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值
范围. 解 令y＝sin x＋cos x，x∈R， π ∵y＝sin x＋cos x＝ 2sin(x＋4)∈[－ 2， 2].
又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
7 7 解得 a≥4，∴实数 a 的取值范围为[4，＋∞).
(2)若命题 p： 1－sin 2x＝sin x－cos x 是真命题，求实数 x 的取值范围.
解 由 1－sin 2x＝sin x－cos x，
得 sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cos x，
解 2是素数，但2不是奇数.
所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.
(2)∀x∈R，x2＋1≥1； 解 ∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.
所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数.
解
2是无理数，但( 2)2＝2 是有理数.
所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假
命题.
要点二 存在量词与存在性命题
例2 判断下列命题的真假：
(1)∃x0∈Z，x3 0<1；
解 ∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“∃x0∈Z，x3 0<1”是真命题.
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
解 真命题，如梯形.
(3)有一个实数α，使tan α无意义； π 解 真命题，当 α＝2时，tan α 无意义. π (4)∃x0∈R，cos x0＝2. π 解 ∵当 x∈R 时，cos x∈[ －1,1] ，而2>1， π ∴不存在 x0∈R，使 cos x0＝2， ∴原命题是假命题.
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立. 所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.
规律方法
判断全称命题为真时，要看命题是否对给定
集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反
例进行否定.
跟踪演练1 判断下列全称命题的真假： (1)所有的素数是奇数；
所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.
要点三 全称命题、存在性命题的应用 例3 (1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立.求实
数m的取值范围；
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R， π ∵y＝sin x＋cos x＝ 2sin(x＋4)≥－ 2， 又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
规律方法
存在性命题是含有存在量词的命题，判定
一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元 素满足命题结论即可.
跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假：
(1)有一个实数 x0，使 x2 0＋2x0＋3＝0；
解 由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在.
所以，存在性命题“有一个实数 x0，使 x2 0＋2x0＋3＝0”是 假命题.
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； 解 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， 因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线. 所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”
是假命题.
(3)有些整数只有两个正因数. 解 由于存在整数3只有两个正因数1和3，
2.存在量词和存在性命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“有一个”“有些”在逻 辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号 “∃” 表示.
.存在
性命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为
∃x0∈M，p(x0)，读作 “ 存在 M 中的一个元素 x ，使 p(x ) 成 0 0
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数.
答：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数， 无法判断它们的真假，因而不是命题. 语句 (3) 在 (1) 的基础上，用短语 “ 对所有的 ” 对变量 x 进行 限定； 语句 (4) 在 (2) 的基础上，用短语 “ 对任意一个 ” 对变量 x 进
第1章——
1.3
[学习目标]
全称量词与存在量词
1.3.1 量
词
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的
含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数 学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
∴只要 m< 2即可，
∴所求 m 的取值范围是(－∞， 2).
规律方法
有解和恒成立问题是存在性命题和全称命
题的应用，注意二者的区别.
跟踪演练3
(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0
的解集非空，求实数a的取值范围；
解 关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，