上海市高三数学理一轮复习专题突破训练：函数

上海市2021届高三数学理一轮复习专题突破训练
函数
一、填空、选择题
1、〔2021年上海高考〕点(3,9)在函数x
a x f +=1)(的图像上，那么
________)()(1=-x f x f 的反函数
2、〔2021年上海高考〕设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①假设
()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，那么()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增
函数；②假设()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，那么()f x 、()g x 、
()h x 均是以T 为周期的函数，以下判断正确的选项是〔 〕
A 、①和②均为真命题
B 、①和②均为假命题
C 、①为真命题，②为假命题
D 、①为假命题，②为真命题
3、〔2021年上海高考〕方程log 2〔9x ﹣
1﹣5〕=log 2〔3x ﹣
1﹣2〕+2的解为 2 ．
4、〔2021年上海高考〕设f ﹣
1〔x 〕为f 〔x 〕=2x ﹣
2+，x ∈[0，2]的反函数，那么y=f 〔x 〕+f ﹣
1〔x 〕
的最大值为 4 ．
5、〔2021年上海高考〕设2,(,),(),[,).
x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 假设(2)4f =，那么a 的取值范围
为 .
6、〔2021年上海高考〕假设213
2
()f x x x
-=-，那么满足()0f x <的x 的取值范围是 .
7、〔虹口区2021届高三三模〕假设函数()()()f x x a x a R =-∈存在反函数1
()f x -，那么
1(1)(4)f f -+-= _________.
8、〔虹口区2021届高三三模〕假设函数()y f x =的图像与函数3
x a
y +=的图像关于直线
y x =-对称，且(1)(3)3f f -+-=，那么实数a 等于 ( )
〔A 〕-1 ( B) 1 〔C 〕 2 (D) 4 9、〔杨浦区2021届高三三模〕函数2log (1)y x =+的反函数为
10、〔崇明县2021届高三二模〕函数22,0
(),0
x a x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，假设()f x 的最小值是a ，那么
a = ．
11、〔奉贤区2021
届高三二模〕函数y =_______．(用区间表示) 12、〔虹口区2021届高三二模〕函数()f x 的对应关系如下表：
假设函数()f x 不存在反函数，那么实数m 的取值集合为___________.
13、〔静安区2021届高三二模〕假设函数()()2
F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2， f (1) =1，
那么g (－1)的值为〔 〕
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
14、〔浦东新区2021届高三二模〕方程22log (97)2log (31)x x
+=++的解为
15、〔徐汇、金山、松江区2021届高三二模〕定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，
[)[)12log (1),0,1,()13,1,,
x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩
那么关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________〔结果用a 表示〕．
16、〔闸北区2021届高三二模〕设函数()(01x x
f x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，那么
(0)(1)(2)f f f ++的值是
17、〔长宁、青浦、宝山、嘉定四区2021届高三二模〕设0>a 且1≠a ，假设函数2
)(1
+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，那么点P 的坐标是___________．
18、〔崇明县2021届高三二模〕函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且
123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪
=⎨⎛⎫
⎪⎪⎝⎭
⎩≤≥，那么函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为 ．
19、〔闸北区2021届高三上学期期末〕函数ln(1),0()1
ln
,01x x f x x x
⎧+≥⎪
=⎨<⎪-⎩的单调性为 ；奇偶性为 ；
20、〔长宁区2021届高三上学期期末〕方程9x ＋3x －2 ＝ 0的解是___________. 21、〔闵行区2021届高三上学期期末〕假设函数()2
x a
f x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，
且()f x 在[,)m +∞上单调递增，那么实数m 的最小值等于 .
22、〔青浦区2021届高三上学期期末〕函数()lg(23)x
x
f x =-的定义域为 . 23、〔金山区2021届高三上学期期末〕如图，AB 为定圆O 的直径，点P 为半圆AB 上的动点．过
点P 作AB 的垂线，垂足为Q ，过Q 作OP 的垂线，垂足为M ．记 弧AP 的长为x ，线段QM 的长为y ，那么函数y =f (x )的大致图像是( )．
24、〔静安区2021届高三上学期期末〕函数21
3
(10)x y x -=-≤<的反函数是 ( )
A ．311log )3
y x x =-+≥
B ．31
1log (1)3
y x x =-+<≤
C ．31
1log (1)3
y x x =+<≤ D ．311log ()3
y x x =+≥
25、〔闵行区2021届高三上学期期末〕设2345
()2510105f x x x x x x =+++++，那么其反函数的
解析式为〔 〕.
(A) 5
11y x =- (B) 511y x =- (C) 5
11y x =-+-(D) 511y x =--
二、解答题
1、〔2021年上海高考〕
a R ∈，函数21
()log ()f x a x
=+.
〔1〕当5a =时，解不等式()0f x >；
〔2〕假设关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值
范围；
〔3〕设0a >，假设对任意1[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.
2、〔2021年上海高考〕设常数0a ≥，函数2()2x x a
f x a
+=-.
(1) 假设4a =，求函数()y f x =的反函数1
()y f
x -=；
(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.
3、〔浦东新区2021届高三三模〕函数()212a f x ax =-
+，()a g x x x
=+ 〔1〕()0f x >在[)1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；
〔2〕当0a >时，对任意的[]11,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围。

4、〔崇明县2021届高三二模〕 函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈ 〔1〕根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
〔2〕假设不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．
5、〔奉贤区2021届高三二模〕〔1〕120x x <<，求证：11
22
11x x x x +>+； (2)()()31
lg 1log 2
f x x x =+-
,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数； (3)在(2)的条件下，求集合(
)
{}
2
21419980,M n f n n n Z =--≥∈的子集个数.
6、〔虹口区2021届高三二模〕 函数131()log 1ax f x x -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
满足(2)1f -=，其中a 为实常数.
〔1〕求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；
〔2〕假设不等式1()2x
f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.
7、〔黄浦区2021届高三二模〕函数2
()1
x
x f x a x -=++，其中1a >； 〔1〕证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数； 〔2〕证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；
8、〔静安区2021届高三上学期期末〕定义在实数集R 上的偶函数()x f 和奇函数()x g 满足
()()12x f x g x ++=.
(1)求()f x 与()g x 的解析式；
(2)假设定义在实数集R 上的以2为最小正周期的周期函数()x ϕ，当11x -≤≤时，()()x f x ϕ=，试求()x ϕ在闭区间[2015,2016]上的表达式，并证明()x ϕ在闭区间[2015,2016]上单调递减； (3)设2
2
()21h x x mx m m =++-+〔其中m 为常数〕，假设2
(())1h g x m m ≥--对于[1,2]x ∈恒成立，求m 的取值范围.
9、〔杨浦区2021届高三上学期期末〕函数()D)(x x f ∈，假设存在常数T 〔T>0〕，对任意D x ∈都有()() x f T T x f ⋅=+，那么称函数() x f 为T 倍周期函数 〔1〕判断()x x h =是否是T 倍周期函数，并说明理由.
〔2〕证明()x
41 x g ⎪⎭
⎫
⎝⎛=是T 倍周期函数，且T 的值是唯一的.
〔3〕假设() )N (n n f *
∈是2倍周期函数，()11f =，()42f -=，n S 表示()n f 的前n 项和，
1
n 2n
2n S S C -=
，假设10)1a (log C a n ++<恒成立，求a 的取值范围.
参考答案 一、填空题
1、【答案】2log (x 1)- 【解析】试题分析：
将点〔3，9〕带入函数()x
f x 1a =+的解析式得a 2=，所以()x
f x 12=+，用y 表示x 得
2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.
2、【答案】D 【解析】 试题分析： 因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]
()2
f x f x h x h f x +++-+=
必为周期为π的函数，所以②正确；增函数减
增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质
3、解：∵log 2〔9x ﹣
1﹣5〕=log 2〔3x ﹣
1﹣2〕+2，∴log 2〔9x ﹣
1﹣5〕=log 2[4×〔3x ﹣
1﹣2〕]，
∴9x ﹣1﹣5=4〔3x ﹣
1﹣2〕，化为〔3x 〕2﹣12•3x +27=0， 因式分解为：〔3x ﹣3〕〔3x ﹣9〕=0，∴3x =3，3x =9，
解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2． 故答案为：2．
4、 解：由f 〔x 〕=2x ﹣
2+在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[
1
4
，2]]， 可得y=f ﹣1〔x 〕在[14，2]上为增函数，因此y=f 〔x 〕+f ﹣
1〔x 〕在[14
，2]上为增函数，
∴y=f 〔x 〕+f ﹣
1〔x 〕的最大值为f 〔2〕+f ﹣
1〔2〕=1+1+2=4．
故答案为：4．
5、【解析】：根据题意，2[,)a ∈+∞，∴2a ≤
6、【解析】：213
2
()0f x x x
-
<⇒<，结合幂函数图像，如以下图，可得x 的取值范围是(0,1)
7、－1 8、C 9、
10、－1 11、[)0,+∞ 12、{}3,2,1,5- 13、A 14、{}0,1 15、12a
- 16、12 17、)1,3(
18、11
19、单调递增，奇函数 20、x ＝0 21、1 22、(,0)-∞
23、A 24、B 25、C
二、解答题
1、【答案】〔1〕()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-
+∞ ⎪⎝⎭
．〔2〕(]{}1,23,4．〔3〕2,3⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
． 【解析】〔1〕由21log 50x ⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
，得151x +>，
解得()1,0,4x ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭
．
〔2〕
()1
425a a x a x
+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，11
4
x a =
-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当
1
1
0a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当
2
1
0a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．
〔3〕当120x x <<时，
1211
a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．
()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
成立． 因为0a >，所以函数()2
11y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，1
2
t =
时，y 有最小值
3142a -，由31042a -≥，得23
a ≥．
故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
2、【解析】：〔1〕∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244
log 1
y x y +=-， ∴1
2
44
()log 1
x y f
x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ 〔2〕假设()f x 为偶函数，那么()()f x f x =-，∴2222x x x x a a
a a
--++=--， 整理得(22)0x
x
a --=，∴0a =，此时为偶函数
假设()f x 为奇函数，那么()()f x f x =--，∴2222x x x x a a
a a
--++=---， 整理得2
10a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数 当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数 3、【解析】〔1〕由题意即2102a ax -
+>在[)1,2x ∈上恒成立。

即21
12
a x ->
-
在[)1,2x ∈上恒成立。

设()211
2
f x x -=
-
，易得()22,7f x ⎡⎫∈--⎪⎢
⎣
⎭
，所以27
a ≥- 〔2〕由题意知：()()min min g x f x ⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦〔*〕 易知，当0a >时，()()min 112
a
f x f ==
+
1，即01a <<时，()()min 11g x g a ==+，由〔*〕得：112
a a +≤+，解得0a ≤〔舍〕
3，即9a >时，()()min 333
a g x g ==+
，由〔*〕得：3132a a
+≤+，解得12a ≥。

③当
13，即19a ≤≤时，()min g x =*〕得：12
a +，解得a ∈∅。

综上所述，a 的取值范围是[)12,+∞
4、〔1〕函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R
当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............2分 当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............4分 当||1λ≠时，1
(1)3,(1)333
f f λ
λ=+
-=+ 此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且 所以函数为非奇非偶函数.........................................6分
（2） 由于()6f x ≤得33
6x
x
λ-+≤，即
令3[1,9]x
t =∈，................................................8分 在[]1,9t ∈上恒成立，
亦即2
6t t λ≤-+在[]1,9t ∈上恒成立，.............................10分 令[]2()6,1,9g t t t t =-+∈，
当9t =时，()g t 有最小值()927g =-，所以27λ≤-................14分
5、(1)解：任取210x x <<，那么
()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=
++()2122
1x x x x -=+ 3分 210x x <<，所以()212201x x
x x ->+ 4分
∴
2
1
2111x x x x >++
5分
(2)∵
212111x x x x >++,∴2
121lg 11lg x x
x x >++. 6分 12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)
log (log 21
2313x x -
=11lg 21++x x -213log 21x x 7分
=11lg 21++x x -1119109222
log log log x x x x x x >-
109log 9log 1011
01,log log log 10log 9log 10log 9
t t t t t t t t t -<<-=-=⋅
log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->
log 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922
log log 0x x
x x ∴->
8分
∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数 9分 (3)注意到0)9(=f ∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，
∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x . 1 由)9()1998214(0)1998214(2
2
f n n f n n f ≥--⇒≥--
∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n 13分
⇔9223
1071007n n n -≤≤⎧⎪⎨
>+<⎪⎩或 14分
∴223=n 或9-=n ， 15分 ∴}223,9{-=M
M 的子集的个数是4. 16分 6、解：〔1〕由1
312121
(2)log 1,,21
33a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分
于是131()log 1x f x x +⎛⎫
=
⎪-⎝
⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分 对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有
11113333
1111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故()f x 为奇函数. ……7分
〔2〕由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32x
t f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
在恒成立. 由
12
111x x x +=+
--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13
()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分
由()f x 及12x
y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32x
x f x ϕ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
在单调递
增， ……12分
故2
min
15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫
==-=- ⎪⎝⎭
因此，实数t 的取值范围为5
(,).4
-∞-
……14分 7、[证明]〔1〕任取121x x -<<，1212121222
()()11
x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 1212
12121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪
++++⎝⎭
．〔3分〕 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，
于是120x x a a -<，
12123()
0(1)(1)
x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．〔6分〕
〔2〕〔反证法〕假设存在负实数0x 〔01x ≠-〕，使得0()0f x =，即方程2
01
x x a x -+=+有负实数根．
〔8分〕
对于21x x a x -=-
+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，〔10分〕 而000231(,1)(2,)11
x x x --=-+∈-∞-+∞++．〔13分〕
因此，不存在负实数0x 使得2
1x x a x -=-+，得证．
8、解：〔1〕假设1
()()2x f x g x ++=①，因为()x f 是偶函数， ()x g 是奇函数
所以有1
()()2
x f x g x -+-+-=，即1
()()2
x f x g x -+-= ②
∵()f x ，()g x 定义在实数集R 上， 由①和②解得，
11221()222x x x
x f x +-++==+，11221()222
x x x x g x +-+-==-.
(2) ()x ϕ是R 上以2为正周期的周期函数, 所以当[2015,2016]x ∈时,
2016[1,0]x -∈-,201620161
()(2016)(2016)22
x x x x f x ϕϕ--=-=-=+,即()x ϕ在闭区间
[2015,2016]上的表达式为201620161
()22
x x x ϕ--=+.
下面证明()x ϕ在闭区间[2015,2016]上递减:
201620161
()222
x x x ϕ--=+≥，当且仅当201621x -=,即2016x =时等号成立.对于任意
1220152016x x ≤<≤,
1212212120162016201612201620162016111
()()22(21)(2)222
x x x x x x x x f x f x --------=+--=--,
因为1220152016x x ≤<≤,所以121221,210x x x x --<-<,220160
221x -≤=,120160221x -<=，
12016
1
12
x ->,2120162016220x x ---<, 从而12()()0x x ϕϕ->,所以当1220152016x x ≤<≤时, ()x ϕ递减.
(证明1()22
x
x f x =+在[1,0]-上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到也可)
〔3〕∵()t g x =在[1,2]x ∈单调递增，∴315
24
t ≤≤.
∴222
()211h t t mt m m m m =++-+≥--对于315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
∴222t m t +≥-对于315,24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦恒成立，
令
22()2t k t t +=-
，那么
22122t t
t t +=+≥t =3
2
<所以在区间315,24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上22()2t k t t +=-单调递减，
∴max 317()()212k t k ==-，∴17
12
m ≥-为m 的取值范围.
9、〔1〕 设：()() x h T T x h ⋅=+
那么 x T T x ⋅=+ 对任意x 恒成立 〔2分〕
T 无解
∴ ()x x h = 不是T 倍周期函数 〔2分〕
〔2〕 设：()() x g T T x g ⋅=+
那么 x
T
x 41T 41⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+ 对任意x 恒成立 〔2分〕
T 41T
=⎪⎭
⎫
⎝⎛ 21T =
〔2分〕 下证唯一性： 假设 21T >
， 214141T 2
1
T
=⎪⎭
⎫
⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾
假设 21T <
， 214141T 2
1
T
=⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾
∴ 2
1
T =
是唯一的 〔2分〕 〔3〕()()()2 12f 21f 3f ==+=
()()()22 32f 23f 5f ==+= ()()()32 52f 25f 7f ==+=
()()()1-n 2 3-2n 2f 23-2n f 1n 2f ==+=-
()()()()1222211-2n f 5f 3f 1f n 1n 2-=++++=++++- 〔2分〕
同理： ()()()()(
)()
12
42
22142n f 6f 4f 2f n
1
n 2
--=++++-=++++-
∴ ()()()()
123n 2f 2f 1f S n n 2--=+++=
同理：()()()321n 2f 2f 1f S n
1n 2+-=-+++=-
()
321
23S S C n n 1n 2n 2n --==- 〔2分〕 3C 1-= 9C 2=
显然：2n ≥ 0C n > 且 ()
()
()()()
()3
25223
27223
2123321
23C C n
2
n n 2n n n 1n 1n n 1
n +⋅-+⋅-=----=+++
()
()<+⋅-32722n 2
n ()
()
32522n 2
n +⋅-
∴
1C C n
1
n <+ 即单调递减 ∴ ()9
C C 2max n == 〔2分〕
10)1a (log C a n ++<恒成立， ∴ >++10)1a (log a ()9C max n = ∴ 1)1a (log a ->+
① 1a > 时 a
1
1a >
+ 解得 ：1a > ② 1a 0<< 时 a
1
1a <
+ 解得 ：251a 0+-<<
∴ 2
5
1a 0+-<
< 或 1a > 〔2分〕。