高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图教师用书
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
3.空间几何体的三视图
(1)三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
(2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．
4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′
轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半． 【知识拓展】
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”⎩⎪⎨⎪
⎧
坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，
图形改变.
“三不变”⎩⎪⎨⎪
⎧
平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，
相对位置不改变.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )
1．(教材改编)下列说法正确的是( ) A ．相等的角在直观图中仍然相等 B ．相等的线段在直观图中仍然相等 C ．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案 D
解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．2．(2016·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案 B
解析由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项B.
3．(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是( )
A．正三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
答案 D
解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直
观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.
4．(2016·嘉兴市高三下学期教学测试(二))某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm 3
，表面积为________cm 2
.
答案
π2 11π4
解析 由三视图知该几何体为一个半球被割去1
4后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体
的体积为12×34×43π×13＝π2(cm 3)，表面积为12×34×4π×12＋34×π×12＋2×14×π×12
＝
11π4(cm 2
).
题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑤棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④⑤
解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；
⑤正确，由棱台的概念可知．
思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
(1)以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．
其中不正确的命题为________．(填序号)
答案(1)B (2)①②③
解析(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.
(2) 对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；
对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确． 综上，命题①②③不正确． 题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图
例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是( )
答案 D
解析 正视图的轮廓线是矩形DCFG ，点E 在平面DCFG 上的投影为DG 的中点，且边界BE ，BG 可视，故正视图为选项B 或D 中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE ，且边界BF 不可视，故侧视图为选项D 中的侧视图，故选D. 命题点2 已知三视图，判断几何体的形状
例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π
3
，则它的表面积是( )
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π 答案 A
解析 由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的1
8得到的(如图所示)．设该
球的半径为R ，则78×43πR 3＝283π，得R ＝2.所以它的表面积为4π×22－18×4π×22
＋3×
14×π×22
＝17π.故选A.
命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图
例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )
答案 D
解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD ，故选D.
思维升华三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
(1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．18＋36 5 B．54＋18 5
C．90 D．81
(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，
则该几何体的侧视图为( )
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.
(2)由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为平面PAD ，且EC 投影在平面PAD 上，故B 正确．
题型三 空间几何体的直观图
例 5 (1)已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.
34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616
a 2 (2) 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，
O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．一般的平行四边形 答案 (1)D (2)C
解析 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′
＝
22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝6
16
a 2.故选D. (2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm.
∴OC ＝OD 2
＋CD 2
＝
2
2
＋22
＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．故选C.
思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．
如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角
形，则△ABC 的面积为________．
答案
62
a 2
解析 建立如图所示的坐标系xOy ″，
△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ″轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ″轴绕原点逆时针旋转45°得
y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．
已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，
由正弦定理得OC ′sin∠OA ′C ′＝A ′C ′
sin 45°
，
所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝6
2a ，
所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ，
所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2
.
9．空间几何的三视图
典例 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
错解展示
解析 结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正方形，中间两条对角线． 答案 C 现场纠错
解析 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B 1C 不平行，投影为相交线，故应选B. 答案 B
纠错心得 确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线．
1．(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A.16
B.13
C.1
2 D ．1 答案 A
解析 由三视图知，三棱锥如图所示，由侧视图得高h ＝1，
又底面面积S ＝12×1×1＝12.
所以体积V ＝13Sh ＝1
6
.
2．(2015·课标全国Ⅰ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 B
解析 如图，该几何体是一个半球
与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr
2
＋πr 2
＋4r 2
＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2
.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2
＝16＋20π，∴r 2
＝4，r ＝2，故选B.
3．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积
为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π 答案 C
解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝
3
2
＋22
＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12
×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4
＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.
4．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A ．①② B．②③ C．②④ D．③④ 答案 C
解析 由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两个几何体的正视图和侧视图相同，且不与俯视图相同．
5．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 C
解析 根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V －ABCD ，其中VB ⊥平面
ABCD ，
且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD .连接BD ，易知BD ＝2，在Rt△VBD 中，VD ＝VB 2
＋BD 2
＝ 3.
6. (2016·慈溪模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )
A ．①② B．①③ C．③④ D．②④ 答案 D
解析 由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1位置，共有6种展开方式，若把平面ABB 1A 1和平面BCC 1B 1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC 1会经过BB 1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD 和平面CDD 1C 1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC 1会经过
CD 的中点，此时正视图会是④.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在
②④中，故选D.
7.如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A ′B ′C ′D ′是一直角梯形，A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′⊥C ′D ′，且B ′C ′与y ′轴平行，若A ′B ′＝6，D ′C ′＝4，A ′D ′＝2，则原平面图形的面积为______．
答案 20 2
解析 由题意得，直观图的面积S 直＝1
2
×(4＋6)×2＝10，则原平面图形的面积S 原＝22S 直
＝20 2.
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
答案 64＋32 2
解析 由三视图可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥，
因为SB ＝42，AC ＝42，则其表面积等于4×8＋12×42×(8＋4)＋12×4×(8＋4)＋1
2×4×4
＋1
2
×4×42＝64＋32 2. 9. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．
答案 1
解析 设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是12a 2
，
故面积的比值为1.
10. 如图所示，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为平面B ′BCC ′的中心，点
F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的
________．(填出所有可能的序号)
答案 ①②③
解析 空间四边形D ′OEF 在平面DCC ′D ′上的投影是①，在平面BCC ′B ′上的投影是②，在平面ABCD 上的投影是③，故填①②③. 11．某几何体的三视图如图所示．
(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．
解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个1
4圆柱后得到的几何体．
(2)直观图如图所示．
12．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值． 解 如图，把几何体放到长方体中，
使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2
＋b 2
＋(6)2
＝2·(7)2
，即a 2
＋b 2
＝8，又
a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
，当且仅当“a ＝b ＝2”时等号成立．所以a
＋b ≤4，即a ＋b 的最大值为4.
*13.已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示．
(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积． 解 (1)如图．
(2)侧视图中VA ＝
42
－
23×3
2
×232
＝12＝23，则S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.。