【市级联考】湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试文科数学试题-f2116eb9de614208979779c26a7e33c2

绝密★启用前 【市级联考】湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试文科数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．设复数 满足 ，则 （ ） A ．5 B ． C ．2 D ．1 3．在等差数列 中，若 ， 是方程 的两个根，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知函数 ，则 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆的半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是 ，则它的体积是（ ）
……订…………○…线…………○……※※内※※答※※题※※ ……订…………○…线…………○…… A ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 ， 的值分别为（ ）
A ．3，5
B ．4，7
C ．5，9
D ．6，11
8．已知双曲线
的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且
点 到该双曲线的渐近线的距离大于2，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．把函数
的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将图
象向左平移
个单位长度，则所得图象（ ）
A ．在 上单调递增
B ．关于
对称
C ．最小正周期为
D ．关于 轴对称
10．若非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设 是数列 的前 项和，若 ， ，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知圆 ： ，点 ，过点 的动直线与圆 交于 两点，线段 的中点为 为坐标原点，则 面积的最大值为（ ）
A．12B．6C．D．
第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．设函数 为奇函数，当 时， ，则 _______． 14．若x ，y 满足约束条件 ，则 的最小值为______． 15．现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地
方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为_______.
16．已知函数
（ ），若方程 恰有3个不同
的根，则 的取值范围是______．
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 .
18．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.根据统计资料发现，某地区城乡居民的人民币储蓄存款年底余额 （单位：千亿元）与年份代码 的关系可用线性回归模型拟合.下表给出了年份代号 与对应年份的关系.
已知 ， .
（1）求 关于 的回归方程 ；
（2）用所求回归方程预测该地区2018年（ ）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 中
，
.
………线…………………线…………19．在如图所示的几何体中， ， 为全等的正三角形，且平面 平面 ，平面 平面 ， ．
（1）证明： ； （2）求点 到平面 的距离． 20．已知椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 ， 分别为椭圆 的上、下顶点，点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 的另一交点分别为 ，证明：直线 过定点 ． 21．已知函数 ． （1）当 时，讨论 的单调性； （2）证明：当 时， ， ． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求曲线 以及直线 的直角坐标方程； （2）直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 . 23．选修4-5：不等式选讲：设函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由交集定义直接求解即可.
【详解】
集合，，则.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可.
【详解】
由，
得，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式，属于简单题.
3．D
【解析】
【分析】
由题意知+，再利用等差中项可以求出.
【详解】
由题意知，+，而是等差数列，故+，所以. 故选D.
【点睛】
本题考查了等差中项，以及一元二次方程的根与系数关系，属于基础题。

4．C
【解析】
【分析】
分段令，解方程即可得解.
【详解】
当时，令，得；
当时，令，得.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了分段函数零点的求解，涉及指数和对数方程，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
对函数求导，求出其单调区间，进而求出函数的最小值。

【详解】
函数定义域为（x>0），
对函数求导，可得（）（），
因为x>0，所以当0<x<1时，；当时，，
故函数在（0，1）上单调递减，在，）单调递增，
所以函数的最小值为.
故选B.
【点睛】
本题考查了函数的单调性及最值，属于基础题。

6．A
【解析】
【分析】
由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为，计算表面积列方程可得半径，进而可求体积.
【详解】
由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为，
由，得，
所以此几何体的体积为.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体的表面积的求解，考查了学生的空间想象力及计算能力，属于基础题.
7．C
【解析】
执行第一次循环后，，，执行第二次循环后，，，执行第三次循环后，，，执行第四次循环后，此时，不再执行循环体，故选C.
点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可. 8．D
【解析】
【分析】
由条件得双曲线的渐近线，由点到直线的距离列不等式即可得解.
【详解】
因为抛物线方程的焦点坐标为，所以.
因为双曲线的渐近线为，
所以.
因为，
所以
所以该双曲线的离心率为
【点睛】
本题主要考查了双曲线的几何性质及点到直线的距离公式，注意确定双曲线的焦点轴，是本题的关键，属于易错题型.
9．A
【解析】
【分析】
利用三角函数的平移伸缩变换得到新的函数，然后利用正弦函数的单调性、周期性、以及对称性，检验即可得到答案．
【详解】
将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.
得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度，
得到函数，即的图象.
显然函数是非奇非偶函数，最小正周期为，排除选项C,D；
令，得，不关于对称，排除选项B；
令，得，
所得函数在上单调递增，故正确.
故选：A
【点睛】
本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的单调性、周期性、以及对称性，属于基础题．
10．C
【解析】
【分析】
由，得，设，从而可得
，由代入即可求解.，
【详解】
由，得，
即，
设，则
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴.
【点睛】
本题中考查了向量垂直的表示，由数量积求向量的夹角，重点考查了学生的计算能力，属于中档题.
11．D
【解析】
【分析】
利用及相邻等式作差可得，从而可得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】
∵
当时，，
则，
即，则，
从而，故，
.
故选:D
【点睛】
本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12．A
【解析】
【分析】
由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，当到直线的距离最大时，的面积最大，分别计算长度即可.
【详解】
由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，
的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，
以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，
点到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为，
故的面积的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，涉及圆的轨迹问题，考查了学生的数形结合的能力，属于中档题.
13．
【解析】
【分析】
由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.
【详解】
函数为奇函数，当时，，
所以.
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
列出两对情侣选择的所有情况，利用古典概型直接求得概率.
【详解】
两对情侣所有选择方案为（巴黎，厦门），（巴黎，马尔代夫）（巴黎，三亚），（巴黎，泰国），（厦门，马尔代夫），（厦门，三亚），（厦门，泰国），（马尔代夫，三亚），（马尔代夫，泰国），（三亚，泰国），共有10种，其中有3种满足题意，故所求概率为，
故答案为.
【点睛】
本题考查了古典概型，考查了利用列举法解决排列组合的问题，属于基础题.
16．或
【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式画出函数的简图，方程有3个不同的根，即方程
有3个解，根据图象求解即可.
【详解】
当时，，，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，
当时，的图象恒过点，
当时，，当，时，，
作出大致图象如图所示，
方程有3个不同的根，即方程有3个解.
结合图象可知，当时，方程有三个根，
则，即，
而当时，结合图象可知，方程一定有3个解，
综上所述：方程在或时恰有3个不同的根.
【点睛】
本题目考查了函数的零点个数，运用了分类讨论的方法；属于中档题.
求函数零点的方法：
1.解方程f(x)=0的根；
2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；
3.利用数形结合，找图像的交点个数.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理得到，两边消去公因式得到，化
一即可求得角A；（2）因为，所以，再结合余弦定理得到结果. 【详解】
（1）由,
得,
因为，所以，
整理得：，因为，所以.
（2）因为，所以，
因为及，
所以，即.
【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
18．（1）；（2）千亿元.
【解析】
【分析】
（1）直接利用回归系数公式求解即可．
（2）利用回归方程代入直接进行计算即可．
【详解】
解：（1）由题意：因为，，
所以.
，所以线性回归方程为.
（2）当时，.
因此，可以预测2018年该地区人民币储蓄存款为3.66千亿元.
【点睛】
本题考查的知识点是线性回归方程的求示及应用，运算量大，但难度中档．
19．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）分别取的中点，连接，由题中的面面垂直可得平面，
平面，从而得四边形为平行四边形，进而可得证；
（2）点到平面的距离与三棱锥的高相等，进而由等体积计算即可得距离. 【详解】
（1）证明：分别取的中点，连接
因为为正三角形，
所以，，
因为平面平面，平面平面，
且平面平面，
平面平面，
所以平面，平面，
所以，
所以，为全等的正三角形，
所以，
故四边形为平行四边形，
所以，
因为，
所以.
（2）解：记点到平面的距离为，由图可知点到平面的距离与三棱锥
的高相等，
而三棱锥的体积与三棱锥的体积相同.
因为，
所以，的边长为，，
，
所以三棱锥的体积
在梯形中，，
所以梯形的高为，
所以的面积，
于是由等体积法，可得，
所以，
所以，
故点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查了面面垂直、线面垂直的性质，点到面距离的求解，利用等体积转换是求解的关键，考查了学生的空间想象力，属于中档题.
20．（1）（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据离心率、焦距及椭圆中a、b、c的关系，求得a、b、c的值，得到椭圆的标准方程。

（2）表示出MA、MB的直线方程，分别联立方程表示出P、Q的坐标，进而用t表示出两条直线的斜率，根据斜率相等即可求得过的定点坐标。

【详解】
（1）解：由题意知，解得，
所以椭圆的方程为
（2）证明：易知-，
则直线的方程为，直线的方程为
联立，得，
于是，
同理可得，
所以直线的斜率，直线的斜率
因为，
所以直线过定点
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题。

21．（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数的运算法则可得，分别解出，，即可得出单调区间．（2）利用导数研究的单调性，从而可判断函数的最大值。

【详解】
（1）解：由题意知，，.
当时，对恒成立，
所以当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由题意知，即证当时，对任意，恒成立，
令，，
所以，.
因为，，则，所以函数在上单调递减，
所以，
当时，，.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用参数方程与直角坐标方程之间的关系转化即可；（2）将直线的参数方程化为标准参数方程，然后代入椭圆的直角坐标方程中，得到关于的一元二次方程，，求出即可。

【详解】
（1）曲线的直角坐标方程为，
直线的直角坐标方程为.
（2）将（为参数）化为标准参数方程（为参数），
然后代入，得.
所以，.
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的参数方程，以及直线参数方程中t的几何意义，属于中档题。

23．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求出不等式的解集；（2）先求出的最小值，令，求出的范围即可。

【详解】
（1）因为，
所以等价于或或，
解得或或，所以不等式的解集为. （2）对恒成立，
即即可，
因为，
所以，即，
解得.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题，属于中档题。