通用版2019高考数学二轮复习解答题通关练2数列文

2.数 列
1.在等差数列{a n }中，a 1＝－2，a 12＝20.
(1)求数列{a n }的通项a n ；
(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
，求数列{3b n }的前n 项和S n . 解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).
(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是
b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2
，公比q ＝3， 所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n
1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n
＋2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12
. (1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n
＝2＋(n －1)×2＝2n ， 故a n ＝12n
(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14
， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n <
14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－1n <14×2＝12
. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，
得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52
d ， 解得d ＝2.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *
).
(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.
又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，
所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)， 当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，
所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).
所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17
＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1.
(1)求b 1，b 14，b 61；
(2)求数列{b n }的前200项和.
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81， ∴a 1＋4d ＝9.
∵a 1＝1，∴d ＝2，
∴a n ＝2n －1，
∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.
(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项； 当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项； 当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项； 当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项. ∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.。