安徽省六安市舒城县第二中学2019年高三数学理上学期期末试卷含解析

安徽省六安市舒城县第二中学2019年高三数学理上学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．2
参考答案：
B
【分析】求出过焦点F2且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a2+b2=c2，解出e即得．
【解答】解：过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），
联立渐近线方程y=与y﹣0=﹣（x﹣c），
解之可得x=，y=
故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），
将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，
化简可得c2=5a2，故可得e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．2. 设，则函数的零点所在的区间为
A．B． C． D．
参考答案：
B
略
3. 设，，，则（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
试题分析：因,故
,选C.
考点：交集补集运算．
4. 已知两点M（－1，0）和N（1，0），若直线3x-4y+m=0上存在点P满足
，则实数m的取值范围是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
5. 已知a、b、l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若且则；
②若a、b相交，且都在外，，则；
③若，则；
④若则.
其中正确的是（）
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
参考答案：
B
6. 若复数在复平面内对应的点在第三象限,其中，i为虚数单位，则实数a取值范围为（）
A． B．C．D．
参考答案：
B
在复平面内对应的点在第三象限，∴，解得a＜0．
7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在
上单调递增，则实数a的值为
A. －1
B. －2
C. 1
D. 2
参考答案：
A
【分析】
根据题意，由偶函数的定义可得
，解可得a的值，验证的单调性即可得答案．
【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，
则有，
解可得：，
当时，，在上不是增函数，不符合题意；
当时，，在上单调递增，符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出的值，再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8. 已知角α的终边在第二象限，且sinα=，则tanα等于( )
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
D
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：由α终边为第二象限角，根据sinα的值，求出cosα的值，即可确定出tanα的值即可．
解答：解：∵角α的终边在第二象限，且sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，
则tanα=﹣．
故选：D．
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
9. 函数的图象如图所示，则分别是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
略
10. 已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）
A．6 B．8 C．12 D．16
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设出直线方程，求出A，B两点的纵坐标的差，利用△AOB的面积．求出直线的斜率，然后求解|AB|，
【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），
设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），
由?可得y2﹣y﹣4=0，
y A+y B=，y A y B=﹣4，|y A﹣y B|=
△AOB的面积为，可得： |y A﹣y B|=，
，解得k=
|AB|=?，|y A﹣y B|=．
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ．
参考答案：
﹣2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．
【解答】解：|+|2=||2+||2，
可得?=0．
向量=（m，1），=（1，2），
可得m+2=0，解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
12. 若，则常数.
参考答案：
1
13. 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
参考答案：
(1,1)
【分析】
联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.
【详解】由，解得，故，故交点的直角坐标为(1,1).
故答案为(1,1)
【点睛】本小题主要考查极坐标下两条曲线的交点坐标的求法，考查极坐标和直角坐标互化，属于基础题.
14. 已知集合，
则
A. B. C.
D.
参考答案：
15. 已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的
等边三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积．
参考答案：
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r，从而解决问题．
【解答】解：根据题意作出图形
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，
则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．
∵CO1=，
∴OO1=，
∴高PD=2OO1=2，
∵△ABC是边长为4正三角形，
∴S△ABC==4
∴V三棱锥P﹣ABC=×4×2=，
∴r2=．
则球O的表面积为4πr2=．
故答案为．
16. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值是.
参考答案：
8
试题分析：的右焦点为，所以
考点：本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力.
点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别. 17. 设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有
，且，则称为上的高调函数.如果定义域是
的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是
▲ .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的左顶点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程。

(2)设l的直线方程
为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标和，进而得到的关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积。

【详解】(1) 由题意可得：，，得，则.
所以椭圆的方程:
(2) 当直线与轴重合，不妨取，此时
当直线与轴不重合，设直线的方程为：,设，
联立得，
显然，，.
所以
当时，取最大值.
此时直线方程为，不妨取，所以.
又,所以的面积
【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题。

19. （本小题12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为,且
(1)求的值
(2)若且求和的值。

参考答案：
略
20. 已知集合A=，B=，（1）当时，求;
（2）若，求实数的取值范围。

参考答案：
21. 已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，
（i）求实数a的值；
（ii）若对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案：
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；
（ⅱ）先求出x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈时，g （x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈，不等式
≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．
（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，
又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，
∴x=1是函数g（x）的极值点，
∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．
（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，
∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），
∴x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1
由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．
当x∈时，g′（x）＞0．
故g（x）在上为增函数．
∵，g（1）=2，g（3）=，
而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）
∴x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=
①当k﹣1＞0，即k＞1时，
对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≥max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，
∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．
②当k﹣1＜0，即k＜1时，
对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≤min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，
∴k≤．
又∵k＜1，∴k≤．
综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22. 已知函数.
（Ⅰ）求在处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性.
参考答案：
（1）对f（x）求导得f′（x）=
∴= 0
而
所以………………………4分
（2）令g（x）==（x3+x2）e x，
∴g′（x）=（x2+2x）e x +（x3+x2）e x= x（x+1）（x+4）e x…………….7分
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；…………………………10分
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和
（0，+∞）内为增函数…………………………………………………12分。