北京市第五中学2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷

北京市第五中学2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷
一、单选题
1．已知集合{}1,0,1A =-，若{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，则集合B 可以是（）
A ．∅
B ．{}
1,0,1-C ．{}
2,3,4D ．{}
1,2,32．若直线10ax y a --+=与直线330x ay a -+-=平行，则实数a 的值为（）
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．－1或1
3．设曲线C 是双曲线,则“C 的方程为2
2
14
y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数()sin f x x x =，设,,763a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小
关系是（）
A ．c b a
>>B ．b a c
>>C ．c a b
>>D ．a c b
>>5．已知两点(2,0)A -，(0,2)B ，点C 是圆224460x y x y +-++=上任意一点，则ABC V 面积的最小值是（）
A ．8
B ．6
C ．
3D ．4
6．已知抛物线C ：2=12y x 的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，过A 点作准线的垂线交准线于B ，若2π
3
FAB ∠=，则BF =（）
A ．
B ．
C
D ．
3
7．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，1AA ⊥底面，底面扇环所对的圆心角为π2，
AD
长度为 BC
长度的3倍，且线段2AB CD ==，则该“曲池”的体积为（
）
A ．
92
πB ．5πC ．
112
πD ．6π
8．在直角三角形ABC V 中，90,2,4A AB AC ∠=︒==，点P 在ABC V 斜边BC 的中线AD 上，则PB PC ⋅
的取值范围（）A ．[5,0]
-B ．[3,0]
-C ．[0,3]
D ．[0,5]
9．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h 与其来摘后时间t （天）满足的函数解析式为
()()ln 0h m t a a =+>.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失
去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为（）（结果保留
1.41≈）A ．1.5
B ．1.8
C ．2.0
D ．2.1
10．已知定点()3,0A ，()0,4B ，若点C 在圆22:4O x y +=上运动，则2CA CB +的最小值为（
）
A ．
B ．6
C ．
2+D ．2+二、填空题11．复数2
1i
z =
+的共轭复数z =.
12．已知ABCD 为正方形，若椭圆M 与双曲线N 都以A 、B 为焦点，且图象都过C 、D 点，则椭圆M 的离心率为
，双曲线N 的离心率为
.
13．在△ABC 中，
4
AB B π
=∠=，点D 在边BC 上，2,3
ADC π
∠=
CD =2，则AD =；
△ACD 的面积为
.
14．已知函数()e
-=x t
f x ，()e =-+
g x x ，()()(){}max ,
h x f x g x =，其中{}max ,a b 表示a ，
b 中最大的数．若1t =，则()0h =；若()e h x >对R x ∈恒成立，则t 的取值范围
是
．
15．已知函数()3
23f x x x =-.给出下列四个结论：
①过点()0,2A 存在1条直线与曲线()y f x =相切；②过点()2,10B 存在2条直线与曲线()y f x =相切；③过点()1,2C -存在3条直线与曲线()y f x =相切；
④过点()1,D t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()3,2--.其中，正确结论的序号是
.
三、解答题
16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，14,3,5AA AC AB BC ====，点D 是线段BC 的中点.
(1)求证：1
AB AC ⊥；(2)求点1B 到平面1ACD 的距离；(3)求二面角1D CA A --的余弦值.
17．设()()()ππsin cos cos sin 0,0,022f x A x A x A ωϕωϕωϕ⎛
⎫=+><<<< ⎪⎝
⎭过点0,1，且一个
周期的图象（原点O ，最高点M ，最低点N ）如图所示：
(1)求A ，ϕ；
(2)再从以下三个条件中任选其一，使函数()f x 唯一确定，并求()f x 的单调递增区间.条件①：5MN =；
条件②：OM =条件③：502f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
18．
自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T ，4S ，4F ，4Lz 的“基础分”如表1所示.跳跃动作4T 4S 4F 4Lz 基础分9.5
9.7
11.0
11.5
表1
选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.4T 12.0411.22 4.759.069.9711.6310.98
4S 10.9810.5711.32 4.859.51
12.07
4F 13.69 5.5014.0212.924Lz 13.54
14.23
11.21
8.38
11.87表2
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.
(1)从该选手上一赛季所有4T 动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
(2)若该选手在本赛季中，计划完成4T ，4S ，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这
三个动作中成功的跳跃个数记为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）；
(3)在本赛季中，从四个跳跃动作4T ，4S ，4F ，4Lz 中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.19．已知函数()e ax f x x
=，其中0a >.
(1)当2a =时，求曲线=在点()()2,2f 处的切线方程；(2)求=的单调区间；
(3)当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与
12
11
x x -的大小，并说明理由.20．设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>
()4,0P 的直线与椭圆交于A ，
B 两点，当直线AB 经过椭圆中心O 时，AB 4=.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)已知点()1,1T ，直线AT 和直线BT 分别与y 轴交于C ，D ，与x 轴交于E ，F ，若3CDT EFT S S =△△，求直线AB 的斜率.
21．设正整数数列{}n a 满足125,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，为偶数
为奇数
N n *∈.
(1)若61a =，请写出1a 所有可能的取值；
(2)记集合{}
*
n M a n =∈N
∣，且1a 不是5的倍数，求证：1M ∈；(3)存在常数T ，对于*N n ∀∈都有n T n a a +=，求1a 所有可能的取值.。