注意直线方程的适用范围

注意直线方程的适用范围
直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都有各自的适用范围：点斜式和斜截式适用于斜率存在的情形，而截距式要求直线纵、横截距均存在且不为零，两点式适用于直线的斜率存在且不为零。

当已知直线过两已知点时，其方程简单易求。

而在使用直线方程的点斜式、斜截式、截距式等形式时容易犯如下的错误：一是利用点斜式、斜截式求直线方程时，忽视斜率不存在的情形；一类是应用直线的截距式时，忽视直线过坐标原点。

例1：求过点()3,2P 且被两条直线1l ：0633=+-y x ；2l ：033=-y x 所截得的线段长为2的直线方程。

错解：两平行直线1l 和2l 之间的距离：3936
=+=d ，而所求直线l 被两平行直线截
得的线段长为2，故所求直线l 与直线1l 和2l 的夹角为060，
设直线l 的斜率为k ，则333133
=+-
k k ，则得到33-=k 。

则所求直线方程()23
33--=-x y ，即013=-+y x 。

剖析：用直线的点斜式方程来解本题，就意味着该直线的斜率一定存在，但是直线2=x 的斜率不存在，但是满足题意，因此上述的解答不全面，正确的答案应该是两条直线013=-+y x 和2=x 。

评注：考虑问题一定要全面细致，特别是针对斜率不存在的直线。

例2：求过点()4,2M 向圆()()1312
2=++-y x 所引切线方程。

错解： ()()15034122
2>=++-，∴点()4,2M 在圆外， 设过点M 的切线为()24-=-x k y ，即042=+--k y kx ，
则圆心到切线的距离为()1142312=++---⨯=
k k k d ，则7
24=k ，则所求的切线方程为 020724=--y x 。

剖析：过圆外一点作圆的切线应该有两条，若所求的斜率只有一个，应该找出过该点而斜率不存在的另一条切线，本题忽略了直线2=x
评注：要注意的规律是过圆外一点作圆的切线应该有两条。

例3：求过点()0,1A 与抛物线y x 42
=仅有一个交点的直线方程。

错解：设所求直线方程为)1(-=x k y ，将其代入抛物线方程y x 42=，得到0442=+-k kx x ，
由于直线与抛物线只有一个交点，故016162=-=∆k k ，解得0=k 或者1=k 。

所以所求的直线方程为0=y 或1-=x y 。

剖析：在使用直线的点斜式方程时，就默认了直线的斜率一定存在，从而忽视了斜率不存在的情形，事实上，斜率不存在时，直线1=x 也是该题的解。

评注：在解该题时同样要注意解答的完整性，实际上可以通过数形结合来分析解决。

例4：求通过点()1,2且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

错解：设所求的直线的截距式方程为
1=+b y a x ，则112=+a a ，则3=a ， 故所求的直线方程为13
3=+y x ，即03=-+y x 。

剖析：用直线的截距式方程1=+b
y a x 要注意0=a ，0=b ，错解忽略了条件0=a ，从而漏掉了0=a 的另一解02=-y x 。

评注：实际上该题也可以用点斜式来求解，这样在解答时就不会漏解。