江西省2021-2022学年高三上学期期末数学试题
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3．已知平面向量 ， ，若 ，则实数 的值为（）
A．10B．8C．5D．3
4．已知命题 ： ， ；命题 ： ， ，则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
5．某同学为了求 ，设计了如图所示的程序框图，在该程序框图中，①和②两处应分别填入（）
A． B．
C． D．
6．在区域 内任取一点 ，则满足 的概率为（）
江西省2021-2022学年高三上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． （）
A． B． C． D．
【分析】
（1）由题设知直线 ， 的斜率存在且均不为0，设 ，将点 的坐标代入椭圆方程中得 ，然后利用斜率公式计算化简 可得答案，
（2）方法一：设 ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程中消去 ，整理利用根与系数的关系，再利用斜率公式计算 的值，再结合（1）的结论可求得结果，方法二：设 ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程中消去 ，整理利用根与系数的关系，再利用斜率公式直接计算 的值可得答案
（℃）
38
41
42
39
（次数/分钟）
29
44
36
15．已知点F为抛物线 的焦点，点M为C上一点，点N为C的准线上一点，若 为等边三角形，则 的面积为___________.
16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1的圆柱 内的球 与圆柱 的上、下底面及母线均相切，设 ， 分别为圆柱 的上、下底面圆周上一点，且 与 所成的角为90°，直线 与球 的球面交于两点 ， ，则 的值为______.
A． B． C． D．
12．已知实数x，y满足 ，则以下结论错误的是（）
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、填空题
13．在等比数列 中，若 ， ，则 _____________．
14．蟋蟀鸣叫可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 （每分钟鸣叫的次数）与气温 （单位：℃）有着很大的关系.某观测人员由下列表中的观测数据计算出 关于 的线性回归方程 ，那么下表中 的值为______.
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故此时输出 ，不合题意.
对于D，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故此时输出 ，不合题意.
故选：C
6．B
【分析】
根据题意，作出可行域的约束的平面区域，再结合几何概型求解即可.
【详解】
解：画出区域 （图中 及内部），
（1）
解：因为 的面积为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
（2）
解：因为 ， ，
所以 .
由正弦定理，得 ，所以 ，
所以 的面积为 .
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用平均数公式即可求得结果；
（2）列出所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可求得结果.
（1）
由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2，
故选：C.
5．C
【分析】
根据流程图及最后输出的结果逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故此时输出 ，不合题意.
对于C，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故符合题意.
对于B，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
故选：B.
9．C
【分析】
利用平移法，构造出异面直线所成的角，解三角形可得.
【详解】
如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
∵ ，且 ，故四边形 是平行四边形，故 ，
同理可证： ，所以 为所求的角（或其补角），又因为 ， ，所以 ，故 ，所以 .
故选：C.
10．D
【分析】
先判断函数 的对称性，再根据奇函数的性质，结合图象变换的性质进行判断即可.
利用抛物线的性质，结合正三角形的性质和面积公式进行求解即可.
【详解】
由题意知 ，则 与准线垂直，又 为正三角形，所以 与准线所成的锐角为 ，由抛物线标准方程可知：焦点 到准线的距离为 ，
所以 ，所以 的面积为 .
故答案为：
【点睛】
16．
【分析】
由全等三角形得 ，取 的中点为 ，在 中求出 后利用球的性质可得弦长 ．
共13个，故所求概率为 .
19．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）利用面面垂直得到 平面 ，再由勾股定理得到 ， ，
线面垂直的判断定理可得 平面 ，可得 ；
（2）连接 ， ，由（1）知 平面 ，则 到平面 的距离等于 到平面 的距离，由 可得答案.
（1）
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
区域内满足 的区域为图中四边形 的内部及边界（不包括 ），
且 ， ， ，
所以 ，所以 ，
故所求概率 .
故选:B.
7．D
【分析】
先对函数化简变形，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】
由题意得 ，
所以其最小正周期为 ，最大值为1，所以AB错误
对于C，由 ，得 ，所以函数的单调递增区间为 ，所以C错误，
故三角形 为等腰三角形，故 ，
又 ，即 ，所以 ，即 .
故选：A.
12．D
【分析】
由题可得 ，然后逐项分析即得.
【详解】
由 得 ，
所以 ，所以 ，故A正确；
， ，所以 ，故B正确；
∵ ，故C正确：
由选项A，得 .则 ；另一方面， ，则 ，所以 不成立，故D错误.
故选：D.
13．4
【分析】
根据等比数列关系求出公比，利用 即可得解.
评卷人
得分
三、解答题
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
18．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组： ， ， ， ， ，绘成如下频率分布直方图：
【详解】
连接 ， ， ，由 ，得 ，取 的中点为 ，则 ；
, , , 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ；由 及 ，得 也是 的中点，所以 .
故答案为： ．
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据三角形面积公式和余弦定理得 ，进而得 ；
（2）由题知 ，进而结合正弦定理得 ，再计算面积即可得答案.
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积.
20．已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，过点 任作一条直线 ，与 交于异于 ， 的 ， 两点.
（1）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（2）设直线 的斜率为 ，是否存在正常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 .
（1）求过点 且与曲线 相切的切线方程；
（2）求证： .
22．在平面直角坐标系 中，倾斜角为的 直线l过点 ，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
（1）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C交于M，N两点，求 的值.
23．已知 .
（1）解不等式 ；
所以 ，
将（※）代入，得 .
综上，存在正常数 ，使得 .
21．
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出导函数，计算 ，得切线斜率，由点斜式得切线方程并整理；
（2）设 ，由导数求得 的最小值，证得 ，设 ，用导数求得 有最小值，证得故 ，再结合不等式性质可得结论．
（1）求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；
（2）学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含 ， 两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求 ， 两人至少1人被选中的概率.
19．如图，平面 平面 ， 是等边三角形， 为 的中点， ， ， .
所以得分的平均数 .
（2）
所抽取的40人中，得分在80分以上的有 人，
由题意知 ， 在8人之中，余下6人记作 ， ， ， ， ， ，从中抽取2人的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共28个，
其中含有 或 的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
【详解】
在等比数列 中，若 ， ，设公比为q，
，
.
故答案为：4
【点睛】
此题考查等比数列基本量的计算，根据等比数列基本量求解数列中的特定项，关键在于熟练掌握等比数列通项公式，根据公式准确计算求解.
14．51
【分析】
将样本中心点 代入回归方程即可.
【详解】
， ，代入 ，解得 .
故答案为：51
15．
【分析】
A．8B．9C．10D．11
9．在长方体 中， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则 与 所成的角为（）
A． B． C． D．
10．已知 （ ，且 ），则下列函数为奇函数的是（）
A． B． C． D．
11．已知点 ， 分别为双曲线 的左，右焦点， 为 的左支上一点， ，若圆 与直线 相切，则 的离心率为（）
【详解】
因为 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
4．C
【分析】
根据函数单调性得到 为真命题，结合余弦函数的有界性得到 为假命题，故判断出 ， ， 为假命题， 为真命题.
【详解】
为递增函数，故 ， ，故 为真命题，
因为 ，所以 不可能等于 ，所以 为假命题，
所以 ， ， 为假命题， 为真命题.
因为 ， ，所以 ，所以 ，同理 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，所以 .
（2）
连接 ， ，由（1）知 平面 ，则 到平面 的距离等于 到平面 的距离，所以 ，
作 ，垂足为 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以 ，
所以 .
20．
（1）证明见解析
（2）存在，
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则下列判断正确的是（）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为2
C． 在 上单调递增D． 的图象关于点 对称
8．某文具店开业期间，用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层铅笔数为16根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根，则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）
（1）
证明：由题设知直线 ， 的斜率存在且均不为0， ， .
设 ，则 ，即 .
所以 为定值.
（2）
法一：设 ，直线 的方程为 ，代入 ，整理得 ，显然 ，则 ， .
.
由（1），得 ，则 ，取 .
综上，存在正常数 ，使得 .
法二：设 ，直线 的方程为 ，代入 ，并整理得 ，显然 ，则 ， .（※）因为 ， ，
【详解】
因为 ，
所以 的图象关于点 对称，
故 的图象向下平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，
即 为奇函数.
故选：D.
11．A
【分析】
根据直线与圆相切可得等腰三角形 底边上的高，再结合双曲线的定义可得 的关系式，从而可求双曲线的离心率.
【详解】
作 ，垂足为 ，
因为圆 与直线 相切，故 .
因为 ，所以 ，而 ，
对于D，因为 ， 的图象关于点 对称，所以D正确.
故选：D.
8．B
【分析】
从下到上各层的铅笔数构成公差为 的等差数列，可得 ，求出 可得答案.
【详解】
记最下面一层铅笔数为 ，一共放 层，从下到上各层的铅笔数构成公差为 的等差数列，则 ，整理得 ，解得 或 .当 时， ；当 时， ，不合题意，舍去，故最上面一层堆放的铅笔数为9，
（2）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
先求出集合A，再由集合的交集运算可得答案,
【详解】
由 可得 ，即
所以 .
故选:D.
2．A
【分析】
由题可知 ，然后利用复数的乘法及除法运算即得.
【详解】
由题意知 ，
所以 .
故选：A.
3．A
【分析】
由 ，得 ，将坐标代入化简计算可得答案
A．10B．8C．5D．3
4．已知命题 ： ， ；命题 ： ， ，则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
5．某同学为了求 ，设计了如图所示的程序框图，在该程序框图中，①和②两处应分别填入（）
A． B．
C． D．
6．在区域 内任取一点 ，则满足 的概率为（）
江西省2021-2022学年高三上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． （）
A． B． C． D．
【分析】
（1）由题设知直线 ， 的斜率存在且均不为0，设 ，将点 的坐标代入椭圆方程中得 ，然后利用斜率公式计算化简 可得答案，
（2）方法一：设 ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程中消去 ，整理利用根与系数的关系，再利用斜率公式计算 的值，再结合（1）的结论可求得结果，方法二：设 ，直线 的方程为 ，代入椭圆方程中消去 ，整理利用根与系数的关系，再利用斜率公式直接计算 的值可得答案
（℃）
38
41
42
39
（次数/分钟）
29
44
36
15．已知点F为抛物线 的焦点，点M为C上一点，点N为C的准线上一点，若 为等边三角形，则 的面积为___________.
16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1的圆柱 内的球 与圆柱 的上、下底面及母线均相切，设 ， 分别为圆柱 的上、下底面圆周上一点，且 与 所成的角为90°，直线 与球 的球面交于两点 ， ，则 的值为______.
A． B． C． D．
12．已知实数x，y满足 ，则以下结论错误的是（）
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、填空题
13．在等比数列 中，若 ， ，则 _____________．
14．蟋蟀鸣叫可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 （每分钟鸣叫的次数）与气温 （单位：℃）有着很大的关系.某观测人员由下列表中的观测数据计算出 关于 的线性回归方程 ，那么下表中 的值为______.
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故此时输出 ，不合题意.
对于D，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故此时输出 ，不合题意.
故选：C
6．B
【分析】
根据题意，作出可行域的约束的平面区域，再结合几何概型求解即可.
【详解】
解：画出区域 （图中 及内部），
（1）
解：因为 的面积为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
（2）
解：因为 ， ，
所以 .
由正弦定理，得 ，所以 ，
所以 的面积为 .
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用平均数公式即可求得结果；
（2）列出所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可求得结果.
（1）
由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2，
故选：C.
5．C
【分析】
根据流程图及最后输出的结果逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故此时输出 ，不合题意.
对于C，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
依次，最后一次判断前， ，此时 ，终止循环，
故符合题意.
对于B，第1次判断前 ，第2次判断前 ，
故选：B.
9．C
【分析】
利用平移法，构造出异面直线所成的角，解三角形可得.
【详解】
如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
∵ ，且 ，故四边形 是平行四边形，故 ，
同理可证： ，所以 为所求的角（或其补角），又因为 ， ，所以 ，故 ，所以 .
故选：C.
10．D
【分析】
先判断函数 的对称性，再根据奇函数的性质，结合图象变换的性质进行判断即可.
利用抛物线的性质，结合正三角形的性质和面积公式进行求解即可.
【详解】
由题意知 ，则 与准线垂直，又 为正三角形，所以 与准线所成的锐角为 ，由抛物线标准方程可知：焦点 到准线的距离为 ，
所以 ，所以 的面积为 .
故答案为：
【点睛】
16．
【分析】
由全等三角形得 ，取 的中点为 ，在 中求出 后利用球的性质可得弦长 ．
共13个，故所求概率为 .
19．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）利用面面垂直得到 平面 ，再由勾股定理得到 ， ，
线面垂直的判断定理可得 平面 ，可得 ；
（2）连接 ， ，由（1）知 平面 ，则 到平面 的距离等于 到平面 的距离，由 可得答案.
（1）
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
区域内满足 的区域为图中四边形 的内部及边界（不包括 ），
且 ， ， ，
所以 ，所以 ，
故所求概率 .
故选:B.
7．D
【分析】
先对函数化简变形，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】
由题意得 ，
所以其最小正周期为 ，最大值为1，所以AB错误
对于C，由 ，得 ，所以函数的单调递增区间为 ，所以C错误，
故三角形 为等腰三角形，故 ，
又 ，即 ，所以 ，即 .
故选：A.
12．D
【分析】
由题可得 ，然后逐项分析即得.
【详解】
由 得 ，
所以 ，所以 ，故A正确；
， ，所以 ，故B正确；
∵ ，故C正确：
由选项A，得 .则 ；另一方面， ，则 ，所以 不成立，故D错误.
故选：D.
13．4
【分析】
根据等比数列关系求出公比，利用 即可得解.
评卷人
得分
三、解答题
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
18．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组： ， ， ， ， ，绘成如下频率分布直方图：
【详解】
连接 ， ， ，由 ，得 ，取 的中点为 ，则 ；
, , , 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ；由 及 ，得 也是 的中点，所以 .
故答案为： ．
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据三角形面积公式和余弦定理得 ，进而得 ；
（2）由题知 ，进而结合正弦定理得 ，再计算面积即可得答案.
（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积.
20．已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，过点 任作一条直线 ，与 交于异于 ， 的 ， 两点.
（1）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（2）设直线 的斜率为 ，是否存在正常数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 .
（1）求过点 且与曲线 相切的切线方程；
（2）求证： .
22．在平面直角坐标系 中，倾斜角为的 直线l过点 ，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
（1）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C交于M，N两点，求 的值.
23．已知 .
（1）解不等式 ；
所以 ，
将（※）代入，得 .
综上，存在正常数 ，使得 .
21．
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出导函数，计算 ，得切线斜率，由点斜式得切线方程并整理；
（2）设 ，由导数求得 的最小值，证得 ，设 ，用导数求得 有最小值，证得故 ，再结合不等式性质可得结论．
（1）求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；
（2）学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含 ， 两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求 ， 两人至少1人被选中的概率.
19．如图，平面 平面 ， 是等边三角形， 为 的中点， ， ， .
所以得分的平均数 .
（2）
所抽取的40人中，得分在80分以上的有 人，
由题意知 ， 在8人之中，余下6人记作 ， ， ， ， ， ，从中抽取2人的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共28个，
其中含有 或 的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
【详解】
在等比数列 中，若 ， ，设公比为q，
，
.
故答案为：4
【点睛】
此题考查等比数列基本量的计算，根据等比数列基本量求解数列中的特定项，关键在于熟练掌握等比数列通项公式，根据公式准确计算求解.
14．51
【分析】
将样本中心点 代入回归方程即可.
【详解】
， ，代入 ，解得 .
故答案为：51
15．
【分析】
A．8B．9C．10D．11
9．在长方体 中， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则 与 所成的角为（）
A． B． C． D．
10．已知 （ ，且 ），则下列函数为奇函数的是（）
A． B． C． D．
11．已知点 ， 分别为双曲线 的左，右焦点， 为 的左支上一点， ，若圆 与直线 相切，则 的离心率为（）
【详解】
因为 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
4．C
【分析】
根据函数单调性得到 为真命题，结合余弦函数的有界性得到 为假命题，故判断出 ， ， 为假命题， 为真命题.
【详解】
为递增函数，故 ， ，故 为真命题，
因为 ，所以 不可能等于 ，所以 为假命题，
所以 ， ， 为假命题， 为真命题.
因为 ， ，所以 ，所以 ，同理 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，所以 .
（2）
连接 ， ，由（1）知 平面 ，则 到平面 的距离等于 到平面 的距离，所以 ，
作 ，垂足为 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以 ，
所以 .
20．
（1）证明见解析
（2）存在，
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则下列判断正确的是（）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为2
C． 在 上单调递增D． 的图象关于点 对称
8．某文具店开业期间，用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层铅笔数为16根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根，则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）
（1）
证明：由题设知直线 ， 的斜率存在且均不为0， ， .
设 ，则 ，即 .
所以 为定值.
（2）
法一：设 ，直线 的方程为 ，代入 ，整理得 ，显然 ，则 ， .
.
由（1），得 ，则 ，取 .
综上，存在正常数 ，使得 .
法二：设 ，直线 的方程为 ，代入 ，并整理得 ，显然 ，则 ， .（※）因为 ， ，
【详解】
因为 ，
所以 的图象关于点 对称，
故 的图象向下平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，
即 为奇函数.
故选：D.
11．A
【分析】
根据直线与圆相切可得等腰三角形 底边上的高，再结合双曲线的定义可得 的关系式，从而可求双曲线的离心率.
【详解】
作 ，垂足为 ，
因为圆 与直线 相切，故 .
因为 ，所以 ，而 ，
对于D，因为 ， 的图象关于点 对称，所以D正确.
故选：D.
8．B
【分析】
从下到上各层的铅笔数构成公差为 的等差数列，可得 ，求出 可得答案.
【详解】
记最下面一层铅笔数为 ，一共放 层，从下到上各层的铅笔数构成公差为 的等差数列，则 ，整理得 ，解得 或 .当 时， ；当 时， ，不合题意，舍去，故最上面一层堆放的铅笔数为9，
（2）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
先求出集合A，再由集合的交集运算可得答案,
【详解】
由 可得 ，即
所以 .
故选:D.
2．A
【分析】
由题可知 ，然后利用复数的乘法及除法运算即得.
【详解】
由题意知 ，
所以 .
故选：A.
3．A
【分析】
由 ，得 ，将坐标代入化简计算可得答案