《弧长和扇形面积的计算》PPT赏析
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180 n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧 长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在 同圆或等圆中，才可能是等弧．
二 扇形的面积
已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积?
研究问题的步骤:
（1）半径为R的圆,面积是多少? S=πR2
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
当堂练习
1.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l 100 900 500 1570mm
180
因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970(mm)
AB 180
180
180
S扇形AOB
nπr 2 360
100 π 102 360
100 3.14100 360
87.2(cm2 ).
B
O
所以AB的长⌒约为17. 4 cm，扇形AOB的面积约为87. 2 cm2.
C
(2)r=10 cm，l =25 cm，由弧长公式，得 AB
n
180l BC
180 25
回顾与思考 问题1 已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
问题2 已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
一 扇形的弧长
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中 虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（1）1º的圆心角所对的扇形面积 S 是：S 1 πR2 = πR2
360
360
（2）nº的圆心角所对的弧长S 是：S n πR2 nπR2 1 lR
360
360 2
B O
A
弧长公式
l n 2 R n R ①
360
180
扇形面积公式 S n R2 1 lR
②
360 2
注意： 公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； 公式②也揭示弧长和扇形面积之间的关系
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no ，那么扇形面积的
计算公式为：
S 扇形
n R 2
360
扇形面积的弧长与扇形面积:
S 扇形
1 lR 2
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
三 圆锥侧面展开图的相关计算
圆锥的高 S
360º的圆心角所对的弧长就是圆___周__长__C___2_π_R.
B
（1）1º的圆心角所对的弧长 l 是：l 1 2πR= πR
360
180
O
A
（2）nº的圆心角所对的弧长 l 是：l= n 2πR nπR
360
180
扇形是圆周的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.在半径为R的 圆中， 360º的圆心角所对的扇形的面积就是_圆__面__积___S__π_R_2.
例题讲解
例1 如图，⊙O的半径为10 cm. (1)如果∠AOB=100°，求A⌒B的长及扇形AOB的面积. (结果保留一位小数) (2)已知B⌒C=25 cm，求∠BOC的度数.(结果精确到1°) B
A
O C
解：(1) r=10 cm，∠AOB=100°，由弧长和扇形面积公式， A
得 l nπr 100 π10 100 3.1410 17.4(cm),
s全 s侧 s底 rl r2
谢谢
重要图形
圆锥的高 S
l
母线
h
A Or B
侧面
l 展开图 底面 or
重要结论
r2+h2=l2
S侧＝πrl.
S 全＝ S侧+ S底＝ πrl+πr2
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l ②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
弧长和扇形面积的计算
学习目标
1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算. 2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算. (重点) 3.能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算.（难点）
h
l
O● r
圆锥的形成 顶点
把准备好的圆锥模型沿着母线剪开， 观察圆锥的侧面展开图．
母线
高
侧面
底面半径
问题1:这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？ 问题2:这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?
l
h
Or
A hl
1.圆锥的侧面展开图是扇形 L 2.其侧面展开图扇形的半径R=母线的长l
3.侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C 2πR
第二十八章 圆
弧长和扇形的面积的计算
情景导入 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别 在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
获取新知 知识点一：弧长和扇形面积的计算
一条弧和经过这条弧端点的两条
180
∴l＝6cm， ∴由勾股定理，得
h l2 r2 62 22 4 2
即该圆锥的高h为4 2cm
课堂小结
弧长 扇形 弓形
计算公式： l
n R
180
定义 公式 公式
S扇形
n R2
360
S扇形
1 2 C1R
阴影部分面积 求法：整体思想
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
连接AB，则图中阴影部分的面积是 ( A )
A．π－2
B．π－4
C．4π－2
D．4π－4
3. 圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形， 则这个圆锥底面圆的半径是( C )
A．24 B．12 C．6 D．3
4.(1)在半径为6 cm的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是__6π__cm_2__； (2)已知扇形的半径为2 cm，面积为2π cm2，则扇形的圆心角是_1_8_0_o_； (3)若扇形的弧长为10π cm，面积为20π cm2，则扇形的半径为_4_c_m__； (4)已知一个圆锥的底面半径为12 cm，母线长为20 cm，则这个圆锥的 侧面积为_24_0__c_m_2，全面积为3_8_4_ _cm_.2 (5)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆锥的母长为1_0_c_m_.
（2）1°圆心角所对弧长是多少？ 2R R
360 180
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的 弧长的多少倍？ n倍 （4）n°圆心角所对弧长是多少？
nR
180
O
n°
A
B
l
若设⊙O半径为R,n°的圆心角所对的弧长为l，
则 l nR
180
O
n°
A
B
l
（1）在应用弧长公式 l n R 进行计算时，要注意公式中
B
Or C
S侧
11 LR=
22
2 r
l
rl，
S侧=πrl(r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )圆 锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积). S全=S侧+S底=πrl+πr2
例题讲解
例2 已知扇形的圆心角为120°,弧长为20πcm.如果用这个
扇形围成一个圆锥,那么这个圆锥的侧面积是多少?
半径所组成的图形叫做扇形.
在⊙O中，由半径OA,OB和A⌒B 所构成的图形是扇形.
在⊙O中，由半径OA,OB和A⌒CB 所构成的图形是扇形.
A O
B C
在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等， 所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等.
弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.在半径为R的圆中，
答：管道的展直长度为2970mm．
课堂小结
n R 1.n°的圆心角所对的弧长 l . 180
2.圆心角为n°的扇形面积S扇= n R2 1 lR (l为扇形的弧长）.
360 2
3.其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2r
圆锥的侧面展开图是扇形 S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径,l表示圆锥的母线长)
5.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接BC，OC.
(1)求证：∠BCD＝ 1∠COB；
2
(2)若OC＝10，∠BCD＝15°，求阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵AB⊥CD，∴BC＝BD.
如图，连接BD，则∠BCD＝∠BDC.
∵∠COB＝2∠BDC(圆周角定理)，
∴∠COB＝2∠BCD，
我们把连接圆锥的顶点和底面圆上任 一点的线段叫做圆锥的母线.
母线 A
Or
连接顶点与底面圆的圆心O的 线段叫做圆锥的高. B
思考圆锥的母线和圆锥的高有哪些性质？
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长,l表 示圆锥的母线长,那么r,h,l之间有怎样的数量关系呢？
hl r
由勾股定理得：
r2 + h2 = l2
A
A
l
BO
CB O
CA
圆锥的侧面展开图是扇形 其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长
S
Or
B
请推导出圆锥的侧面积公式.
S侧
1 2
C底 R
S侧
1 2
2r
l.
l r
s全 s侧 s底 rl r2
S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )
解:设圆锥的母线长为l 0
∴圆锥的侧面积S=
1 2
×20π×30=300π(cm2).
随堂演练
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( B ) A．π B．2π C．4π D．6π
2.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，
143.
πr 3.14 10
所以∠BOC约为143°.
获取新知 知识点二：圆锥的有关计算 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆，
侧面是一个曲面.
1.圆锥的高(如图h) 连接顶点与底面圆心的线段.
2.圆锥的母线(如图l) 把连接圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段 叫做圆锥的母线。 在△AOB中，有：__l_2＝__r_2_+h_2__.
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? R2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积 的多少倍？ n倍
n R2
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
360
扇形面积公式:
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，
则S扇形=
n R2
360
.
注意:
n R2
（1）在应用扇形的面积公式S扇形= 360 进行计算时，要注意 公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
即∠BCD＝∠COB.
(2)∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，
∴∠AOC＝150°.
又∵OC＝10，
S阴影
150π 102 360
25
3
6.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥 的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h. 解：由题意，得 2 r 120 l，而r＝2cm，
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧 长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在 同圆或等圆中，才可能是等弧．
二 扇形的面积
已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积?
研究问题的步骤:
（1）半径为R的圆,面积是多少? S=πR2
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
当堂练习
1.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l 100 900 500 1570mm
180
因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970(mm)
AB 180
180
180
S扇形AOB
nπr 2 360
100 π 102 360
100 3.14100 360
87.2(cm2 ).
B
O
所以AB的长⌒约为17. 4 cm，扇形AOB的面积约为87. 2 cm2.
C
(2)r=10 cm，l =25 cm，由弧长公式，得 AB
n
180l BC
180 25
回顾与思考 问题1 已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
问题2 已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
一 扇形的弧长
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中 虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（1）1º的圆心角所对的扇形面积 S 是：S 1 πR2 = πR2
360
360
（2）nº的圆心角所对的弧长S 是：S n πR2 nπR2 1 lR
360
360 2
B O
A
弧长公式
l n 2 R n R ①
360
180
扇形面积公式 S n R2 1 lR
②
360 2
注意： 公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； 公式②也揭示弧长和扇形面积之间的关系
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no ，那么扇形面积的
计算公式为：
S 扇形
n R 2
360
扇形面积的弧长与扇形面积:
S 扇形
1 lR 2
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
三 圆锥侧面展开图的相关计算
圆锥的高 S
360º的圆心角所对的弧长就是圆___周__长__C___2_π_R.
B
（1）1º的圆心角所对的弧长 l 是：l 1 2πR= πR
360
180
O
A
（2）nº的圆心角所对的弧长 l 是：l= n 2πR nπR
360
180
扇形是圆周的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.在半径为R的 圆中， 360º的圆心角所对的扇形的面积就是_圆__面__积___S__π_R_2.
例题讲解
例1 如图，⊙O的半径为10 cm. (1)如果∠AOB=100°，求A⌒B的长及扇形AOB的面积. (结果保留一位小数) (2)已知B⌒C=25 cm，求∠BOC的度数.(结果精确到1°) B
A
O C
解：(1) r=10 cm，∠AOB=100°，由弧长和扇形面积公式， A
得 l nπr 100 π10 100 3.1410 17.4(cm),
s全 s侧 s底 rl r2
谢谢
重要图形
圆锥的高 S
l
母线
h
A Or B
侧面
l 展开图 底面 or
重要结论
r2+h2=l2
S侧＝πrl.
S 全＝ S侧+ S底＝ πrl+πr2
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l ②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
弧长和扇形面积的计算
学习目标
1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算. 2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算. (重点) 3.能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算.（难点）
h
l
O● r
圆锥的形成 顶点
把准备好的圆锥模型沿着母线剪开， 观察圆锥的侧面展开图．
母线
高
侧面
底面半径
问题1:这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？ 问题2:这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?
l
h
Or
A hl
1.圆锥的侧面展开图是扇形 L 2.其侧面展开图扇形的半径R=母线的长l
3.侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C 2πR
第二十八章 圆
弧长和扇形的面积的计算
情景导入 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别 在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
获取新知 知识点一：弧长和扇形面积的计算
一条弧和经过这条弧端点的两条
180
∴l＝6cm， ∴由勾股定理，得
h l2 r2 62 22 4 2
即该圆锥的高h为4 2cm
课堂小结
弧长 扇形 弓形
计算公式： l
n R
180
定义 公式 公式
S扇形
n R2
360
S扇形
1 2 C1R
阴影部分面积 求法：整体思想
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
连接AB，则图中阴影部分的面积是 ( A )
A．π－2
B．π－4
C．4π－2
D．4π－4
3. 圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形， 则这个圆锥底面圆的半径是( C )
A．24 B．12 C．6 D．3
4.(1)在半径为6 cm的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是__6π__cm_2__； (2)已知扇形的半径为2 cm，面积为2π cm2，则扇形的圆心角是_1_8_0_o_； (3)若扇形的弧长为10π cm，面积为20π cm2，则扇形的半径为_4_c_m__； (4)已知一个圆锥的底面半径为12 cm，母线长为20 cm，则这个圆锥的 侧面积为_24_0__c_m_2，全面积为3_8_4_ _cm_.2 (5)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆锥的母长为1_0_c_m_.
（2）1°圆心角所对弧长是多少？ 2R R
360 180
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的 弧长的多少倍？ n倍 （4）n°圆心角所对弧长是多少？
nR
180
O
n°
A
B
l
若设⊙O半径为R,n°的圆心角所对的弧长为l，
则 l nR
180
O
n°
A
B
l
（1）在应用弧长公式 l n R 进行计算时，要注意公式中
B
Or C
S侧
11 LR=
22
2 r
l
rl，
S侧=πrl(r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )圆 锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积). S全=S侧+S底=πrl+πr2
例题讲解
例2 已知扇形的圆心角为120°,弧长为20πcm.如果用这个
扇形围成一个圆锥,那么这个圆锥的侧面积是多少?
半径所组成的图形叫做扇形.
在⊙O中，由半径OA,OB和A⌒B 所构成的图形是扇形.
在⊙O中，由半径OA,OB和A⌒CB 所构成的图形是扇形.
A O
B C
在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等， 所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等.
弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.在半径为R的圆中，
答：管道的展直长度为2970mm．
课堂小结
n R 1.n°的圆心角所对的弧长 l . 180
2.圆心角为n°的扇形面积S扇= n R2 1 lR (l为扇形的弧长）.
360 2
3.其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2r
圆锥的侧面展开图是扇形 S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径,l表示圆锥的母线长)
5.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接BC，OC.
(1)求证：∠BCD＝ 1∠COB；
2
(2)若OC＝10，∠BCD＝15°，求阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵AB⊥CD，∴BC＝BD.
如图，连接BD，则∠BCD＝∠BDC.
∵∠COB＝2∠BDC(圆周角定理)，
∴∠COB＝2∠BCD，
我们把连接圆锥的顶点和底面圆上任 一点的线段叫做圆锥的母线.
母线 A
Or
连接顶点与底面圆的圆心O的 线段叫做圆锥的高. B
思考圆锥的母线和圆锥的高有哪些性质？
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长,l表 示圆锥的母线长,那么r,h,l之间有怎样的数量关系呢？
hl r
由勾股定理得：
r2 + h2 = l2
A
A
l
BO
CB O
CA
圆锥的侧面展开图是扇形 其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长
S
Or
B
请推导出圆锥的侧面积公式.
S侧
1 2
C底 R
S侧
1 2
2r
l.
l r
s全 s侧 s底 rl r2
S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )
解:设圆锥的母线长为l 0
∴圆锥的侧面积S=
1 2
×20π×30=300π(cm2).
随堂演练
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( B ) A．π B．2π C．4π D．6π
2.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，
143.
πr 3.14 10
所以∠BOC约为143°.
获取新知 知识点二：圆锥的有关计算 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆，
侧面是一个曲面.
1.圆锥的高(如图h) 连接顶点与底面圆心的线段.
2.圆锥的母线(如图l) 把连接圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段 叫做圆锥的母线。 在△AOB中，有：__l_2＝__r_2_+h_2__.
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? R2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积 的多少倍？ n倍
n R2
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
360
扇形面积公式:
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，
则S扇形=
n R2
360
.
注意:
n R2
（1）在应用扇形的面积公式S扇形= 360 进行计算时，要注意 公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
即∠BCD＝∠COB.
(2)∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，
∴∠AOC＝150°.
又∵OC＝10，
S阴影
150π 102 360
25
3
6.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥 的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h. 解：由题意，得 2 r 120 l，而r＝2cm，