高考复习 选修4-5 第1节 课时分层训练69

课时分层训练(六十九) 绝对值不等式
1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．
(1)求m ＋n 的值；
(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.
[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，
得1≤x ≤2，3分
∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.5分
(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.10分
2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．
[解] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；
当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a ，
x －1－2a ，a ＜x ≤－1，
3x ＋1－2a ，x ＞－1，
3分
f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，
解得a ＝－6；5分 当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1，
－x ＋1＋2a ，－1＜x ≤a ，
3x ＋1－2a ，x ＞a ，
7分
f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，
解得a ＝4.9分
综上所述，实数a 的值为－6或4.10分 3．(2017·衡水中学调研)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. 【导学号：31222445】
(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．
[解] (1)当a ＝－3时，
不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3.(*)
若x ≤2时，由(*)式，得5－2x ≥3，∴x ≤1.
若2＜x ＜3时，由(*)式知，解集为∅.
若x ≥3时，由(*)式，得2x －5≥3，∴x ≥4.
综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}.4分
(2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，(**)
当1≤x ≤2时，(**)式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |，
解得－2－a ≤x ≤2－a .8分
由条件，[1,2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集，
∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0，
故满足条件的实数a 的取值范围是[－3,0].10分
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．
(1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.
[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，
2x ，x ≥12.
当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；
当－12＜x ＜12时，f (x )＜2； 当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.
所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}.5分
(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.
因此|a ＋b |＜|1＋ab |.10分
5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a ，b 满足：a 2＋b 2＝2ab .
【导学号：31222446】
(1)求1a ＋1b 的最小值m ；
(2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m 2成立，说明理由．
[解] (1)∵2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， ∴ab ≥ab (a ＞0，b ＞0)，则ab ≤1. 又1a ＋1b ≥2ab
≥2， 当且仅当a ＝b 时取等号，
∴1a ＋1b 的最小值m ＝2.5分
(2)函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1t －(x －t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ＋t ＝|t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ≥2. 对于(1)中的m ＝2，m 2＝1＜2.
∴满足条件的实数x 不存在.10分
6．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|.
(1)解不等式|x －1|＜f (x )；
(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a ＞0)恒成立，求实数a
的取值范围．
[解] (1)依题设，得|x －1|＜|3x ＋2|，
所以(x －1)2＜(3x ＋2)2，则x ＞－14或x ＜－32，
故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞－14或x ＜－32.4分
(2)因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，
所以1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋1n ＝2＋m n ＋n m ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立．
令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x ＜－23，
－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ，8分 则x ＝－23时，g (x )取得最大值23＋a ， 要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4.
解得a ≤103.
又a ＞0，因此0＜a ≤103.10分。