直线与圆锥曲线(二)概要

直线与圆锥曲线 位置关系（二）
例题1.如果直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=4 没有公共 点，求实数k的取值范围。
解：将直线方程y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4，
整理，得（1-k2）x2 + 2kx – 5 = 0※
（1）当1-k2=0时，即k=±1时 ※为一次方程且有解，不符题意 （2）当1-k2≠0时，即k ≠ ±1时 ※为关于x的二次方程， 若使直线与曲线无交点，只需△﹤０ 即：4k2 + 20(1-k2) ﹤０,解之得 k﹤ 综上所述，实数k的取值范围是(-∞ ,
2 X
综上所述，实数k的取值范围是( 1 ,
5 ) 2
（1）当1-k2=0时，即k=±1时 ※为一次方程有且只有一解，
符合题意
（2）当1-k2≠0时，即k ≠ ±1时 ※为关于x的二次方程， 若使直线与曲线有唯一公共点，只需△=０ 即：4k2 + 20(1-k2) =０,解之得 k=
5 2 5 2
或k=
5 2
综上所述，实数k的值为 x=±1 或x=±
Y
即：
1-k2≠0 △﹥0
X
解之得

5 ﹤ 2
5 k﹤ 2
且 k ≠± 1
5 , 2
y=
5 5 x- 1 y = x- 1 2 2
综上所述， 实数k的取值范围是 ( -1 ) ∪ （-1，1y=kx+1 与双曲线 x2-y2=4 右支有两
相异公共点，求实数k的取值范围。

5 2
或 k﹥
5 2
5 2
5 2 ) ∪(
, ∞)
Y
X
y=
5 5 x- 1 y = x- 1 2 2
思考：如果直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=4 有唯一
公共点，求实数k的值。
解：将直线方程y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4，
整理，得（1-k2）x2 + 2kx – 5 = 0※
解：将直线方程y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4，
整理，得（1-k2）x2 + 2kx – 5 = 0※
若使直线与双曲线右支有两相异公共点，应满足： Y 1-k2≠0 △﹥0 (x1-2)+(x2-2) ﹥0 (x1-2)(x2-2) ≥0 解之得 1﹤ k﹤ 5
2
B(x1, y1)
A(x1, y1)
Y
X
y=
5 5 x- 1 y = x- 1 2 2
思考：如果直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=4 有两个相
异公共点，求实数k的取值范围。
解：将直线方程y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4，
整理，得（1-k2）x2 + 2kx – 5 = 0※
若使直线与曲线有两相异公共点， 则※有两相异实数根