高中数学(人教新课标B版)教学设计 必修五：第二章数列 复习

教学设计
整体设计
教学分析
本章知识网络
本章复习建议
本章教材的呈现方式决定了本章的复习方法，一方面让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用．
数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们各有五个基本量：首项a 1、公差d或公比q、项数n、通项a n、前n项和S n；两个基本公式——通项公式和前n项和公式将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线．本章的重点是等差和等比数列的基本性质及其应用，难点是等差和等比数列的基本性质的综合应用．因此注意等差、等比数列与相应函数的关系也就成了复习的重点．
数列在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一．由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性．这就要求我们在数列复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握等差与等比数列的基本性质，帮助学生
自我架构数列知识框架，提高综合运用数列知识和方法的能力．
数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心，应弄清通项公式的意义——项数n的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值，及对数列进行一般性的研究．数列的递推式是数列的另一种表达形式，常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论．在处理这类问题的时候要注意项数．
数列一章是高中多个数学知识点的交汇，也是多个数学思想方法的聚会，因此本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓展．本章小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题，在设计的例题中有所涉及．但仍不够，可再适当增加些．如三角形的三内角成等差数列等问题的探究．本章复习将分为两课时，第1课时重点是系统化本章知识结构，优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力；第2课时重点是灵活运用数列知识解决与数列有关的问题．为更好地理解教学内容，可借助信息技术复习本章内容．通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容．
本章《新课程标准》要求是：1.数列的概念和简单表示法．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.2.等差数列、等比数列．(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．
三维目标
1．通过本章复习，使学生理清本章知识网络，归纳整合知识系统，突出知识间内在联系，能用函数观点进一步认识数列．
2．提高学生综合运用知识的能力，分析问题、解决问题的能力；培养学生自主复习及归纳的意识，激励学生思维创新．
3．认识事物间的内在联系和相互转化，培养探索、创新精神．
重点难点
教学重点：等差数列、等比数列的概念、通项、前n项和，及它们之间的内在联系；灵活应用数列知识解决问题．
教学难点：用函数的观点认识数列并用数列知识灵活解决实际问题．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路 1.让学生阅读课本的小结内容．根据教材内容的呈现方式回答有关问题，同时也给学生以数列整体知识结构的记忆．由此展开新课．
(幻灯片)
思路 2.本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的研究，然后让学生根据本章学习的进程，回忆本章学习了哪些主要内容？用到了哪些思想方法？本章知识流程图留给学生自己操作．相比之下，这种引入对学生的思维要求较高，难度大，但却更能训练学生的创造性思维．教师可结合学生的活动出示相关多媒体课件．推进新课
新知探究
提出问题
(1)怎样理解函数与数列的关系？
(2)回忆等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质各是什么？
(3)回忆“叠加法”“累乘法”“倒序相加法”“错位相减法”的含义是什么？
(4)对任意数列{a n}，若前n项和为S n，则a n与S n具有怎样的关系？怎样理解这个关系式？它有哪些应用？
活动：教师引导学生充分探究，自行总结，不要将归纳总结变成课堂上的独角戏，辅助
课件可制成如下表格形式：
点拨学生注意，重新复习数列全章更应从函数角度来认识数列，这是学好数列、居高临下地把握数列的锦囊妙计．深刻认识数列中数的有序性是数列定义的灵魂．数列可以看成是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时，对应的一列函数值．而数列的通项公式则是相应的函数解析式．反映到图象上，由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数，复习本章应突出数列的这一函数背景．对两类特殊数列——等差数列与等比数列的函数理解则是：等差数列是一次型函数，是最简单的递推数列；等比数列是指数型函数．它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题．
关于等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式的推导方法以及“叠加法”“累乘法”等，可由学生回忆并进一步理解，这里不再一一列出．
教师应特别引导学生关注a n 与S n 的关系．对于任何数列{a n }，若前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1， n ＝1，n ≥2，常因忽略对n ＝1的讨论或忽略n ≥2这一条件而出错．这个关系
式要深刻理解并灵活运用．用此关系式求a n 时，若S 1满足S n －S n －1的形式，则用统一的形式
表示通项公式a n.若S1不满足S n－S n－1的形式，则分段表示通项公式a n.因此这个关系式的应用有两个方面：既可用此式求通项公式a n，又可将a n转化为S n－S n－1的形式解决问题．应让学生明确用本章知识主要解决的问题是：
①对数列概念(包括通项、递推等)理解的题目；
②等差数列和等比数列中五个基本量a1，a n，d(q)，n，S n知三求二的方程问题；
③数列知识在生产实际和社会生活中的应用问题．
讨论结果：(1)～(4)略．
应用示例
例1设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和，若{S n}是等差数列，求q的值．活动：这是一道关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的题，起点比较低，入手的路子宽．让学生独立思考，列式、求解，组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法．
解法一：利用定义，∵{S n}是等差数列，
∴a n＝S n－S n－1＝…＝S2－S1＝a2.
∴a1·q n－1＝a1·q.∵a1≠0，∴q n－2＝1.∴q＝1.
解法二：利用性质，∵{S n}是等差数列，∴a n＝S n－S n－1＝S n－1－S n－2＝a n－1，
a1·q n－1＝a1·q n－2.∵a1≠0，q≠0，∴q＝1.
解法三：利用性质，∵2S2＝S1＋S3，∴2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，
即a2＝a3.∴q＝1.
点评：还可以用求和公式、反证法等．
变式训练
设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
答案：A
解析：方法一：设等比数列的公比为q，则S10＝S5＋S5·q5，S15＝S5＋S5·q5＋S5·q10，
由S 10∶S 5＝1∶2，得1＋q 5＝12，q 5＝－12
， ∴S 15∶S 5＝1＋q 5＋q 10＝12＋14＝34
. 方法二：∵S 10∶S 5＝1∶2，∴S 10＝12
S 5. ∵(S 10－S 5)2＝(S 15－S 10)S 5，
∴(－12S 5)2＝(S 15－12
S 5)S 5. ∴
S 15S 5＝34.
例2设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋4(n ∈N *)．
(1)写出这个数列的前三项；
(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列．
活动：学生很容易解决第(1)题，第(2)题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”．
(1)解：a 1＝S 1＝7，a 2＝S 2－S 1＝22＋2×2＋4－7＝5，
a 3＝S 3－S 2＝32＋2×3＋4－(7＋5)＝7，即a 1＝7，a 2＝5，a 3＝7.
(2)证明：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ＞1， ∴当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n ＋4－＝2n ＋1.
a n ＋1－a n ＝2(定值)，
即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列．
点评：注意书写步骤的规范，理解第(2)题中n ＞1时的讨论，准确表达推理过程，理解重
要关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1， n ＝1，n ≥2的应用．
例3设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，
(1)求公差d 的取值范围；
(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．
活动：这是一道经典考题，很有训练价值．教师引导学生观察题目条件及结论，寻找解
题的切入点，鼓励学生多角度思考．
对于第(1)个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理地选用等差数列的前n 项和的哪一个公式．其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少未知量的作用．在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式．
对第(2)个问题的思考，可以有较多的角度，让学生合作探究，充分挖掘题目中的条件，寻找更好的思路．积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法．教师收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程．
解：(1)依题意有S 12＝12a 1＋12×12×11d ＞0，S 13＝13a 1＋12
×13×12d ＜0， 即2a 1＋11d ＞0，①
a 1＋6d ＜0.②
由a 3＝12，得a 1＝12－2d ，③ 将③式分别代入①②式，得24＋7d ＞0且3＋d ＜0，
∴－247
＜d ＜－3为所求． (2)方法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．
由于S 12＝12a 1＋12×12×11d ＝6(2a 1＋11d)＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 1＋12
×13×12d ＝13(a 1＋6d)＝13a 7＜0，
∴a 6＞0，a 7＜0.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大．
方法二：S n ＝na 1＋12
n(n －1)d ＝n(12－2d)＋12
(n 2－n)d ＝d 2(n －5－24d 2)2－d (5－24d )28
. ∵d ＜0，∴(n －5－24d 2
)2最小时，S n 最大．
而当－247＜d ＜－3时，有6＜5－24d 2
＜6.5，且n ∈N ， ∴当n ＝6时，(n －5－24d 2
)2最小，即S 6最大． 方法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，
因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，
则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．
由S 12＞0，S 13＜0，有
12a 1＋12
×12×11d ＞0⇒a 1＋5d ＞－d
2＞0； 13a 1＋12
×13×12d ＜0⇒a 1＋6d ＜0. ∴a 6＞0，a 7＜0.
故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大．
方法四：同方法二得S n ＝d 2(n －5－24d 2)2－d (5－24d )28
. ∵d ＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12,13)内，于是抛物线的顶点在(6,6.5)内，而n ∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．
点评：解完本例后，教师引导学生反思解法，充分发挥本例的训练功能．第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不大．第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值．方法一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k ＋1＜0；方法二是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法求解．它训练了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点；而方法三则是通过等差数列的性质，探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解．
例4已知数列{a n }为12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，若b n ＝1a n a n ＋2
，求{b n }的前n 项和S n .
活动：教师点拨学生解决问题的关键是找出数列的通项，根据数列的通项特点寻找解决
问题的方法．
显然a n ＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋2＝4n (n ＋2)
＝2(1n －1n ＋2)． 由此问题得以解决．
解：由题意，知a n ＝
1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋2＝4n (n ＋2)＝2(1n －1n ＋2)． ∴S n ＝2(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2
) ＝2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2
) ＝3n 2＋5n (n ＋1)(n ＋2)
. 点评：本例巩固了数列的求和知识方法，通过探究，明确解决问题的关键是先从分析通项公式入手，找出规律，再用裂项法求解．
变式训练
等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ；
(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
的值． 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d ＞0.
依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧ d ＝－65，q ＝403(舍去)．
故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －
1.
(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)，
所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)
＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2
) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2
) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)
.
知能训练
设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项；
(2)令b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3
＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2. 解得a 2＝2.
设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q
，a 3＝2q. 又S 3＝7，可知2q
＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0. 解得q 1＝2，q 2＝12
. 由题意得q ＞1，∴q ＝2.
∴a 1＝1.
故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.
(2)由于b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，
由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln23n ＝3nln2.
∴{b n }是等差数列．
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝
n (b 1＋b n )2 ＝n (3ln2＋3nln2)2＝3n (n ＋1)2
ln2. 课堂小结
1．由学生自己总结本节复习的内容与方法，回顾通过本节复习，对数列的认识提升了哪些？都有哪些收获？
2．等差数列与等比数列涉及的知识面很宽，与其他内容的交汇较多，但不管怎样变化，只要抓住基本量，充分运用方程、函数、化归等数学思想方法，合理选用相关知识，任何问题都能迎刃而解．
作业
课本本章小结巩固与提高3、4、5.
设计感想
1．本教案设计加强了学生学习的联系．数学学习绝不是孤立的学习，数学学习的联系性表现为两个方面，一方面是数学与现实生活的联系，另一方面是数学内部之间的联系，表现为数学知识内容之间的相互联系．本教案设计充分体现了这一数学学习特征．
2．本教案设计加强了学生的数学探索活动．数学学习不是简单的镜面式反映，而是经过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过交流、反思、调整等完成的．本章内容的复习设计，充分体现了学生是学习的主体这一特点，给学生留有了充分发挥和自主学习的空间．
3．本教案设计突出了数学思想方法的训练，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般的思想方法，函数思想、类比思想贯穿整章内容．另外还有数形结合思想、方程思想等．
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)上一节课我们总结了数列的有关概念、方法、公式等．本节继续通过例题探究、变式训练等活动，进一步加深和提高解决问题的灵活性．要求通过本节复习，对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成灵活熟练的解题技能．
思路2.(练习导入)通过以下练习、讲评作为新课的切入点．
某养猪场养的猪，第一年猪的重量增长率是200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的12
. (1)当饲养4年后，所养的猪的重量是原来的多少倍？
(2)如果由于各种原因，猪的重量每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后，猪的重量开始减少？
解：(1)依题意，猪的重量增长率成等比数列，
∴设原来猪重为a ，则四年后为
a·(1＋200%)(1＋2·12)(1＋2·12·12)(1＋2·12·12·12)＝454
a.
答：4年后猪的重量是原来的454
倍． (2)由a n ≥a n ＋1知a n ≥a n (1＋
12n －1)(1－10100)， 得2n －1≥9，∴n ≥5.
故5年后猪的重量会减少．
推进新课 新知探究
提出问题
(1)等差数列、等比数列有哪些重要性质？怎样运用这些性质快速解题？
(2)怎样建立数列模型解决实际问题？
(3)在具体的问题情境中，怎样识别数列的等差关系或等比关系，并用有关知识解决相应的问题？
活动：教师引导学生对所学等差、等比数列的性质进行回忆，特别提示学生在使用等差数列与等比数列的性质解决问题时，一定要注意下标的起始以及下标间的关系，防止误用性质或求错结果．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，巧用性质、减少运算量在等差、等比数列的计算中非常重要．应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体解决．能够在运算时达到运算灵活、方便、快捷的目的，因而一直受到重视，高考中也一直作为重点来考查．
数列应用题大致可分为三类：一类是有关等差数列的应用题，这类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或整式不等式处理，计算较容易；二类是有关等比数列的应用题，这类问题建立模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按要求保留一定的精确度，注意答案要符合题设中实际问题的意义；三类是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问题，这类问题要掌握将递推数列化成等差、等比数列求解的方法．
解决数列应用题的一般方法步骤与解其他应用题相似．(1)审题，明确问题属于哪类应用
题，弄清题目中的已知量，明确所求的结论是什么．(2)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来．(3)明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n ，还是求S n ，n 是多少．
国民经济发展中的大量问题：如人口增长，产量增加，土地减少，成本降低，存款利息，购物(如车子、房子)中的定期付款，经济效益等应用问题，都是数列所要解决的问题．因此，数列的有关知识，在应用上有着广泛的前景和用武之地．
讨论结果：(1)(3)略．
(2)建立数列模型的关键是分析题中已知量与未知数据之间的关系．
应用示例
例1已知公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.试问：是否存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．
活动：教师引导学生观察本题的条件，与学生一起探究．由于本题涉及到两个数列{a n }和{b n }之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n 、b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量呢？由于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q.
由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，可以列出方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2. 解出d 和q ，则a n 、b n 就确定了．
进一步探究：如果a n 和b n 确定了，那么a n ＝log a b n ＋b 就可以转化成含有a 、b 、n 的方程，如何判断a 、b 是否存在呢？如果通过含有n 、a 、b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a 、b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由．
解：设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，等比数列{b n }的公比为q ，则
⎩⎪⎨⎪⎧
1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2.
解得d ＝5，q ＝6.所以a n ＝5n －4，而b n ＝6n －1.若存在常数a 、b ，使得对一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立，
即5n －4＝log a 6n －1＋b ，
即5n －4＝(n －1)log a 6＋b ，
即(log a 6－5)n ＋(b －log a 6＋4)＝0对任意n ∈N *都成立，
只需⎩⎪⎨⎪⎧
log a 6－5＝0，b －log a 6＋4＝0成立． 解得a ＝615
，b ＝1.所以存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立． 点评：本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式．a n 和b n 确定，其他的问题就可以迎刃而解．可见，抓住基本量是解决等差数列和等比数列综合问题的关键．
变式训练
已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
12a n ＋n ，n 为奇数，a n －2n ，n 为偶数.
(1)求a 2，a 3；
(2)当n ≥2时，求a 2n －2与a 2n 的关系式，并求数列{a n }中偶数项的通项公式．
解：(1)a 2＝32，a 3＝－52
. (2)∵a 2n －2＋1＝a 2n －2－2(2n －2)，
即a 2n －1＝a 2n －2－2(2n －2)．
∵a 2n －1＋1＝12
a 2n －1＋(2n －1)， 即a 2n ＝12
a 2n －2－(2n －2)＋(2n －1)， ∴a 2n ＝12
a 2n －2＋1. ∴a 2n －2＝12
(a 2n －2－2)． ∴a 2n ＝－(12
)n ＋2(n ∈N *)．
例2设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与1的等差中项等于S n 与1的等比中项，求数列{a n }的通项公式．
活动：教师引导学生将文字语言转化为数学语言，即a n ＋12＝S n ，然后通过a n 与S n 的关系求通项．
解：方法一：依题意，有S n ＝(a n ＋1)2
4
， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14
． ∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0，
即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.
∵a n ＞0，
∴a n ＋1－a n ＝2.
又a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a n ＝2n －1.
方法二：∵a n ＋12
＝S n ， ∴S 1＝a 1＝1.
当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1，即2S n ＝S n －S n －1＋1，
即(S n －1)2－(S n －1)2＝0，
∴(S n －S n －1－1)(S n ＋S n －1－1)＝0.
又∵a n ＞0，S 1＝1，
∴S n ＋S n －1－1≠0.
∴S n －S n －1＝1.
∴S n ＝n.
从而a n ＝2S n －1＝2n －1.
点评：利用数列通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2，
与题设条件建立递推关系是本题求解的关键．
例3已知数列{a n }满足3S n ＝(n ＋2)a n (n ∈N *)，其中S n 为前n 项的积，a 1＝2.
(1)证明数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n ＋1)．
(2)求数列{1a n
}的前n 项和T n . (3)是否存在无限集合M ，使得当n ∈M 时，总有|T n －1|＜110
成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由． 活动：教师引导学生分析题目中的已知条件：a n 与S n 的关系，结合题目中的结论，显然需利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)消去S n ，由此打开解题的通道．可让学生自己探究操作，教师适时地给予点拨．
解：(1)证明：由3S n ＝(n ＋2)a n ，得3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)．
两式相减，得3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， 即(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，
∴
a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)． ∴a n －1a n －2＝n n －2
(n ≥3)，…，a 3a 2＝42，a 2a 1＝31，a 1＝2. 叠乘，得a n ＝n(n ＋1)(n ∈N *)． (2)1a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
， ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1
. (3)令|T n －1|＝|n n ＋1－1|＝1n ＋1＜110
， 得n ＋1＞10，n ＞9.
故满足条件的M 存在，M ＝{n|n ＞9，n ∈N *}．
例4已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{ak n }是公比为q 的等比数列，且k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值．
活动：教师引导学生观察本题条件，共同探究．本题可把k 1＋k 2＋…＋k n 看成是数列{k n }的求和问题，这样我们着重考查{k n }的通项公式，这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”．从寻找新旧数列的关系着手，即可找到解决问题的切入点，使问题迎刃而解．
解：设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，
则a 5＝a 1＋4d ，a 17＝a 1＋16d.
因为a 1，a 5，a 17成等比数列，
则(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，即2d 2＝a 1d.
又d ≠0，则a 1＝2d.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2d ＋(n －1)d ＝(n ＋1)d.
因为数列{ak n }的公比为q ，则q ＝a 5a 1＝(5＋1)d (1＋1)d
＝3， 所以ak n ＝ak 1·3n －1＝a 1·3n －1＝2d·3n －1.
又ak n ＝(k n ＋1)d ，则2d·3n －1＝(k n ＋1)d.
由d ≠0，知k n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．
因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n
＝2·30－1＋2·31－1＋2·32－1＋…＋2·3n －1－1
＝2(30＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝2·3n
3－1
－n ＝3n －n －1. 点评：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的．
变式训练
设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3
，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3
，① ∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝
n －13，② ①－②，得3n －1a n ＝13，a n ＝13
n . 在①中，令n ＝1，得a 1＝13，∴a n ＝13
n . (2)∵b n ＝n a n
，∴b n ＝n·3n . ∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n .③
∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n ＋1.④
④－③，得2S n ＝n·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )＝n·3n ＋1－3(1－3n )1－3
，
∴S n ＝(2n －1)3n ＋
14＋34
.
例5已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.
(1)求数列{b n }的通项b n ；
(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋1b n
)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与log a b n ＋13
的大小，并证明你的结论． 活动：这是一道1998年的全国高考题，至今解来仍很新颖．难度属中高档，教师与学生共同探究．首先，数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目顶端的第一个台阶，必须走好这一步．
解：(1)设数列{b n }的公差是d ，由题意得
b 1＝1，
10b 1＋12
×10×(10－1)d ＝145， 解得b 1＝1，d ＝3.
∴b n ＝3n －2.
(2)由b n ＝3n －2，知
S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋14)＋…＋log a (1＋13n －2
) ＝log a ，
log a b n ＋13
＝log a 33n ＋1， 因此要比较S n 与log a b n ＋13的大小，可先比较(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2
)与33n ＋1的大小． 取n ＝1，有(1＋1)＞33×1＋1，
取n ＝2，有(1＋1)(1＋14
)＞33×2＋1， ……
由此推测(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2
)＞33n ＋1.(*) 若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：
当a ＞1时，S n ＞log a b n ＋13，
当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13
. 〔对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考〕
下面对(*)式加以证明：
证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)(1＋13n ＋1)＝21×54×87×…×3n －13n －2
， D n ＝33n ＋1，
再设B n ＝32×65×98×…×3n 3n －1
，C n ＝43×76×109×…×3n ＋13n ， ∵当k ∈N *时，k ＋1k ＞k ＋2k ＋1
恒成立， 于是A n ＞B n ＞C n .∴A 3n ＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D 3n .∴A n ＞D n ，
即(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2
)＞33n ＋1成立． 由此证得：当a ＞1时，S n ＞
log a b n ＋13. 当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13
. 证法二：∵3n ＋1＝
41×74×107×…×3n ＋13n －2， 因此只需证1＋13k －2＞33k ＋133k －2对任意自然数k 成立， 即证3k －13k －2＞33k ＋133k －2
，也即(3k －1)3＞(3k ＋1)(3k －2)2，即9k ＞5. 该式恒成立，故1＋13k －2＞33k ＋133k －2
. 取k ＝1,2,3，…，n 并相乘即得A n ＞D n .
点评：(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等．有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用．
例6假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低
价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
活动：教师引导学生认真审题，确定数列模型，深刻挖掘题目中的数量关系，这是解决本题的锦囊妙计．由题意知，第(1)题属等差数列模型，需求和．第(2)题属等比数列模型．
解：(1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝
50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2
×50＝25n 2＋225n. 令25n 2＋225n ≥4 750，
即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数．∴n ≥10.
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知，{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1.
由题意可知a n ＞0.85b n ，
有250＋(n －1)×50＞400×(1.08)n －1×0.85，
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6.
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 点评：本题主要考查等差、等比数列的求和，不等式基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．
变式训练
某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚8时各服一片，现知道药片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的20%，在体内的残留量超过386毫克，就会产生副作用．
(1)某人上午8时第1次服药，问到第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留多少？
(2)长期服用此药，这种药会不会产生副作用？
解：(1)依题意建立数列模型，设此人第n 次服药后，药在体内的残留量为a n 毫克，
则a1＝220，a2＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4，a3＝220＋a2×(1－60%)＝343.2.
从而某人第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留343.2毫克．
(2)由a n ＝220＋0.4a n －1，得a n －1 1003＝0.4(a n －1－1 1003)(n ≥2)， ∴{a n －1 1003}是以a 1－1 1003
为首项，以0.4为公比的等比数列． ∴a n －1 1003＝(a 1－1 1003)·0.4n －1＜0.∴a n ＜1 1003
≈386.故不会产生副作用．
知能训练
1．求数列8,88,888，…， 的前n 项和．
2．某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值．
答案：
1．解：∵a n ＝89
(10n －1)， ∴S n ＝89×(101－1)＋89×(102－1)＋…＋89
×(10n －1) ＝89×＝89×10n ＋1－10－9n 9＝881
×(10n ＋1－10－9n)． 2．解：设原计划三年的产值分别为x －d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值分别为x －d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋11.
⎩⎪⎨⎪⎧
x －d ＋x ＋x ＋d ＝300，(x －d ＋10)(x ＋d ＋11)＝(x ＋10)2.解得x ＝100，d ＝10，x －d ＝90，x ＋d ＝110. 答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元．
课堂小结
1．由学生合作归纳本节所复习的内容与方法，站在全章的高度对数列的知识方法进行高度归纳与整合，并理出自己独到的见解及适合自己特点的解题风格．
2．让学生通过能力性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为素质能力．并体会“问题是数学的心脏，探究是学习的中心”的含义．逐渐提高自己的数学素养，努力把自己锻炼成一流人才，为人类、为社会作出更多的服务．
作业。