部编版2020学年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几种不同增长的函数模型优化

3.2.1 几种不同增长的函数模型
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．下列函数中随x 的增大而增大，且速度最快的是( ) A.110e x B ．y ＝10ln x 3
C ．y ＝x 10
D ．y ＝10·2x
解析：∵e>2，∴110e x 比10·2x
增大速度快，故选A.
答案：A
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数
D ．对数型函数
解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D. 答案：D
3．今有一组数据如下：
A ．v ＝log 2t
B ．v ＝log 12
t
C ．v ＝
t 2－1
2
D ．v ＝2t －2
解析：将t 的值代入四个函数，找出最接近v 的那个函数模型． 答案：C
4．某商品价格前两年递增20%，后两年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是( ) A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5%
D ．不增不减
解析：由题意，设商品原价格为a 元，则四年后的价格为a (1＋20%)2
(1－20%)2
＝a (1－0.04)2
＝0.921 6a .∴
a －0.921 6a
a
＝7.84%.故选A.
答案：A
5．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A ．分段函数
B ．二次函数
C ．指数函数
D ．对数函数
解析：由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数． 答案：A
6．进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个________元． 解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为每个(10＋x )元，日销售量为(100－10x )个，则日利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2
＋360(0≤x ≤10) ∴当x ＝4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大． 答案：14
7．某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费提高2元便减少10张客床租出．为少投入，多获利，每床每天收费应提高________元．
解析：设客床租金每张提高x 个2元，则将有10x 客床空出，客床租金总收入为：y ＝(10
＋2x )(100－10x )＝－20x 2＋100x ＋1 000＝－20(x 2
－5x －50)＝－20⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －522＋1 125，∴当
提高5
2个2元即提高5元时，租金总收入最高．
答案：5
8．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大广告效应，此时收入
R ＝________.
解析：D ＝a A －A ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫A －a 22＋a 2
4，∴当A ＝a 2，即A ＝a 2
4时，D 最大．此时R ＝a A ＝a 2
2.
答案：a 24 a 2
2
9．某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数
R (x )＝5x －x 2
2
(0≤x ≤5)万元，其中x 是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f (x )； (2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？ 解析：(1)设年产量为x (百件)，
当0≤x ≤5时，f (x )＝5x －x 2
2
－(0.5＋0.25x )；
当x >5时，销售收入为252万元，此时f (x )＝25
2
－(0.5＋0.25x )＝12－0.25x
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
2＋194
x －12，0≤x ≤5，12－0.25x ，x >5.
(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－12(x －4.75)2
＋10.781 25；
当x >5时，函数f (x )为单调递减函数． ∴当年产量为475件时，公司所得利润最大．
10．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为 3 600－3 000
50＝12，
所以这时能租出88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为
f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫100－x －3 00050
(x －150)－
x －3 00050
×50 ＝－150x 2
＋162x －21 000
＝－150(x －4 050)2
＋307 050.
∴当x ＝4 050时，f (x )max ＝307 050.
故月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．
[B 组 能力提升]
1.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA
向A 点运动．设P 点运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )
解析：由题意：P 点在BC 上时，0≤x ＜4，S ＝4x
2
＝2x
P 点在CD 上时，4≤x ≤8，S ＝
4×4
2
＝8 P 点在DA 上时，8＜x ≤12，S ＝24－2x .
故选D. 答案：D
2．1994年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x %， 设2015年底世界人口数为y (亿)，那么y 与x 的函数解析式为( ) A ．y ＝54.8(1＋x %)19
B ．y ＝54.8(1＋x %)21
C ．y ＝54.8(x %)19
D ．y ＝54.8(x %)20
解析：由题意：1995年底人口为54.8(1＋x %) 1996年底人口为54.8(1＋x %)2
1997年底人口为54.8(1＋x %)3 ……
∴2015年底人口为54.8(1＋x %)21，故选B. 答案：B
3．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M ，则M (1＋x )11
＝a ·M ， ∴x ＝
11
a －1. 答案：
11
a －1
4．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y ＝e kt
(其中k 为常数；
t 表示时间，单位：小时，y 表示细菌个数)，则k ＝________，经过5小时，1个细菌能繁
殖________个．
解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 1k 2
∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2
当t ＝5时，y ＝e
10ln 2
＝210
＝1 024.
答案：2ln 2 1 024
5．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面102
3米，入水处距池边4米，同时运动
员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为33
5米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
解析：(1)由题意可设抛物线方程为y ＝a (x －h )2
＋k ，则可知k ＝23，图象必过(0,0)，
(2，－10)两点． 则有⎩⎪⎨⎪⎧
0＝ah 2
＋2
3，－10＝a 2－h
2
＋23
，
移项作比得
h
h －2＝±1
4
，h >0， 解之得h ＝25，a ＝－25
6，
∴y ＝－256⎝ ⎛⎭⎪⎫x －252＋2
3
.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为33
5
米，
即x ＝335－2＝85时，y ＝－256×(85－25)2＋23＝－16
3
，所以此时运动员距水面距离为
10－163＝14
3
<5，故此次跳水会出现失误．
(3)设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m (m >2)．
则⎩⎪⎨⎪⎧
m >2，－256
m －2－2
52
＋2
3
≥－5
得2<m ≤12＋345，所以运动员此时距池边的水平距离最大为12＋34
5
米．
6．九十年代，政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，1990年，1991年，1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y ＝a ·b x
＋c (其中a ，b ，c 为常数)，且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？ 解析：若以f (x )＝px 2
＋qx ＋r 作模拟函数，则依题意得：
⎩⎪⎨⎪
⎧
p ＋q ＋r ＝14p ＋2q ＋r ＝39p ＋3q ＋r ＝6
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝
1
2
q ＝1
2，r ＝0
∴f (x )＝12x 2＋1
2
x .
若以g (x )＝a ·b x
＋c 作模拟函数，
则⎩⎪⎨⎪⎧
ab ＋c ＝1ab 2
＋c ＝3ab 3＋c ＝6
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝
8
3
b ＝32，
c ＝－3
∴g (x )＝83·(32
)x
－3.
利用f (x )，g (x )对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为：f (5)＝15可比单位，g (5)＝17.25可比单位，
∵|f (5)－16|<|g (5)－16|，
故f (x )＝12x 2＋12x 作模拟函数与1994年的实际数据较为接近，用f (x )＝12x 2＋1
2x 作模拟函数
较好．。