Ch3-3 基于对LC梯形网络模拟的有源RC滤波器

3.3 基于对LC 梯形网络模拟的有源RC 滤波器
无源LC 梯形滤波器有非常好的可扩展性，易于实现高阶，但是，电感元件不易得到。

可以采用有源阻抗变换电路模拟电感元件来实现。

3.3.1 通用阻抗变换器及仿真电感
通用阻抗变换器GIC （Generalized Immittance Converter ）用两个运算放大器实现，可以实现接地阻抗的变换。

V
IZ V V V V +===142由虚断有：由虚短有：
5
4
44333
2221Z V Z V V Z V V Z V V =--=-
可以求得端口等效阻抗：4
25
31)(Z Z Z Z Z I V s Z ==
，根据阻抗54321Z Z Z Z Z ，，，，所选参数的不同，在电路ab 输入端可以得到不同的阻抗值，故此电路称为通用阻抗变化器。

如果取Z 2（或Z 4）为电容元件，其他元件为电阻，则：
eq sL C R R R R s R sC R R R s Z =⋅⋅=⨯=
24
53142
5311)(，相当于电感元件，电感量24531C R R
R R L eq =，
但是由于b 端是接地的，故只可以实现接地的仿真电感。

例题3-4 二阶带通滤波器，试用仿真电感实现。

x 2C R L eq =，如果将负载接于ab 端，可能因负载阻抗低导致仿真电感输入端近似于短
路。

故可以将负载接于运放的输出端以获得较高的电流驱动能力。

由于24a V V V ==，
4
345
(1)Z V V Z =+
，所以32a V V =，可以将负载接于V 3端，滤波器特性不变，既可以获得较大的电流驱动，又可以有2倍电压增益。

例题3-5 将例题3-3 的5阶梯形巴特沃兹高通滤波器用仿真电感实现。

o
3.3.2 通用阻抗变换器及频变负电阻
当实现含有浮地电感的电路时，不能使用接地仿真电感，需要采取其他变换手段。

通用阻抗变换器还可以用来实现频变负电阻，从而解决浮地的仿真电感难以实现的问题。

已知4
25
31)(Z Z Z Z Z s Z =
，当Z 1、Z 5均为电容元件，其他元件均为电阻时，
514232514223,1)(C C R R R D D s C C R R s R s Z ===
，在正弦信号输入下，ωj =s ，D
Z 2
1
)j (ωω-=，称为频变负电阻FDNR （Frequency Dependent Negative Resistor
以5阶归一化低通滤波器为例，分析含有浮地电感电路的实现。

L
对拉普拉斯算子进行变换，令所有元件复阻抗均变为原来的N 倍（N 为复常数），滤波器特性不会改变。

取j K
N ω
=
，j s ω=，则：原来的电阻R 变为L
1
1j j K NR R KR
ωω=
=
⋅，相当于电容元件； 原来的电感元件sNL 变为j j K sNR L KL ωω=⋅⋅=，相当于电阻元件；原来的电容元件21=j j N K K sC C C
ωωω-⋅=，相当于频变负电阻。

于是建立变换规则：
可以取K =1
，但是，这样的电路由于C S 、C L 有隔直作用，所以对于频率很低的信号，尤其是含有直流成分的信号并不适合。

这时，可以在C S 、C L 端各并接一个大电阻。

例题3-6 5阶归一化巴特沃兹LPF 用频变负电阻实现。

3.3.3 状态空间滤波器
无源LC 梯形滤波器每个单元阶的结构是固定的，极易于扩展至高阶，但是损耗也增加。

如果改为有源元件实现，可以提高增益，状态空间滤波器就是借鉴无源LC 梯形电路的结构特点用运放来实现各个单元阶。

设计原则是：使有源滤波器的状态方程与无源LC 梯形电路的状态方程相同，这样转移函数必然相同。

以5阶LPF 为例，取电容电压和电感电流为状态变量，列写电路的状态方程。

希望得到的方程形式
in
V b b s V s I s V s I s V a a a a
a a a a s V s I s V s I s V ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⨯
⨯
⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2154321252423211514131254321)()()()()(00000)()()()()(
每个状态变量均与自身无关，而是其他状态变量的线性组合，这样可以利用前馈或反馈实现方程式的每一行。

以实现第一行为例框图如下。

V in
5阶无源LPF 的电路方程为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++==+++==+++000)5554
5
344433213221121V G V sC I V V I sL I V sC I V V I sL V sC I G V V L S in （ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧+-
=+=--
=+=++-=4555434443
233232
12211
1
1111)(1I sC G V V sL V
sL I I sC I
sC V sL
V
sL V I I V G G sC V L in S S
可见，结构也有很好的高阶推广性，这种结构又称跳偶式或跳蛙式（Leap-frog ）。

第一节和最后节转移函数相同，可以用有损积分器实现，中间各节分别为反相积分器和同相积分器。

求和节可以用加法器结构。

各单元节电路实现如下：
①有损积分器 ②反相积分器
③同相积分器 （两种结构），后者运放自身非理想因素造成的相移影响较小。

④ 求和级，反馈支路相同，只要保证两路信号输入电阻相同就可实现)(21f f R
Z V F
O +-
=
5阶LPF 的跳蛙式有源器件实现如下：。