山西省临汾市曲沃县里村镇中学高二数学理测试题含解析

山西省临汾市曲沃县里村镇中学高二数学理测试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 过坐标原点O作圆的两条切线，切点为A，B，直线AB被圆
截得弦|AB|的长度为
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. （理科）已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】由两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，知
，由此能求出m．
【解答】解：∵两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，
∴，
解得m=，或m=﹣6．
故选B．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答．
3. 设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩?U N=﹛2，4﹜，则N=( )
A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4}
参考答案：
B
考点：交、并、补集的混合运算．
分析：利用集合间的关系，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．
解答：解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法．
4. 过点（2,1）的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为
（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 如图1，直三棱柱侧面是边长为5的正方形，，
与成角，则长（）
A．13 B．10
C． D．
参考答案：
D
6. 已知长方体，，，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
略
7. 空间四边形中，,,,点在上，且，为
中点，则=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
如图，连接ON,N为BC中点，在中，可得，由，则，那么．故本题答案选B．
8. 已知函数，则是（）
A. 奇函数，且在R上是增函数
B. 偶函数，且在(0,+∞)上是增函数
C. 奇函数，且在R上是减函数
D. 偶函数，且在(0,+∞)上是减函数
参考答案：
C
【分析】
先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.
【详解】定义域为R，关于原点对称，
，有，
所以是奇函数，
函数，显然是减函数.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.
9. 全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（）
A．所有被5整除的整数都不是奇数； B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数； D．存在一个奇数，不能被5整除
参考答案：
C
略
10. 一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度与时间t（）的
关系近似表示为，则汽车在时刻秒时的加速度
为（）
A．9 B．9 C．8
D．7
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若是R上周期为5的奇函数，且满足则=
（）
A．-1 B．1 C．-2
D．2
参考答案：
A
12. 已知点A（2，1）与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，则点A与圆C的位置关系
为．
参考答案：
点在圆内
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；直线与圆．
【分析】利用圆心以及定点的距离与半径比较，推出结果即可．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，的圆心（1，2），半径为：．
AC==，
点A与圆C的位置关系为：点在圆内．
故答案为：点在圆内．
【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用，两点间距离公式的应用，考查计算能力．
13. 圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成,则圆台的侧面积为____________。

参考答案：
解析：画出圆台，则
14. 过点且与直线平行的直线方程是▲．
参考答案：
15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．
参考答案：
1和3
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
16. 已知非零向量与满足()·=0且= ，
则△ABC的形状为___________．
参考答案：
等边三角形
17. 与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，E是线段CC1的中点，连接AE，B1E，AB1，B1C，BC1，得到的图形如图所示．
（I）证明BC1⊥平面AB1C；
（II）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC1⊥平面AB1C．
（Ⅱ）求出平面AB1C的法向量，和平面AB1E的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AB1﹣C的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=AB，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=CC1=AB=1，
则B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），B1（0，1，1），C（0，0，0），=（0，﹣1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，1），∴?=0， =0﹣1+1=0，
∴BC1⊥AC，BC1⊥AB1，
∵AC∩AB1=A，∴BC1⊥平面AB1C．
解：（Ⅱ）∵BC1⊥平面AB1C，∴=（0，﹣1，1）是平面AB1C的法向量，
E（0，，0），=（﹣1，0，），
设平面AB1E的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，﹣1，2），
设二面角E﹣AB1﹣C的大小为θ，
则cosθ===，
∴θ=30°．
∴二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°．
19. (本小题满分12分) 给定两个命题:：关于的方程有实数根；
：对任意实数，都有恒成立.
如果为真命题，求实数的取值范围.
参考答案：
①若为真命题，则由得------------------3分ks5u
②若为真命题，则 --------------------------------------5分
或-----------------------------7分
-----------------------------------------9分
为真命题，均为真命题 -------------------------10分
实数的取值范围为----------------------12分
20. （12分）已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=,在OP的延长线上取一点Q,使|PQ|=|PA|,当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.
参考答案：
设动点Q的坐标为（ρ，θ）则∠OQA=，在△OQA中，∠QAO=
由正弦定理可知：=
∴ρ=2asin()
即：ρ=2asin（+θ）
21. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 .
参考答案：
本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.
（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又
且A2，A3互斥，所以
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X的数学期望
略
22. 已知函数
(1)求函数的单调递增区间；
(2)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，且
，试求角B和角C.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）将解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到的递增区间；
（2）由（1）确定的解析式，及求出的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b 得到A大于B，检验后即可得到满足题意的B和C的度数.
【详解】（1）
，
令，解得
故函数的递增区间为.
（2），
，
由正弦定理得：，
，，或.
当时，：当时，（不合题意，舍）
所以.
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.。