2020届河南省罗山县高级中学老校区高三第七次模拟考试数学(文)试卷

2020届河南省罗山县高级中学老校区高三第七次模拟考试
数学试卷（文科）
一、选择题（共12题，60分）
1.
设集合{|A x y ==,集合{}
2
|20B x x x =->,则()
R C A B ⋂等于（ ） A ．()0,2
B ．[)1,2
C ．()0,1
D ．()2,+∞
2. 下列命题正确的是（ ）
A ．向量,a b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b a λ=
B ．在AB
C △中，0AB BC CA ++=uu u r uu u r uu r
C ．不等式a b a b a b -≤+≤+中两个等式不可能同时成立
D ．向量,a b 不共线，则向量a b
+与向量a b
-必不共线 3．设0.1323,log log a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c <<
B. a c b <<
C. b c a <<
D.
c b a <<
4.若sin π6α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，则in 2πs 6α⎛⎫+=
⎪⎝⎭（ ）
A
B
C D ．13
5．记n S 为等比数列{n a }的前n 项和，若23a a ＝
89，5a ＝16
3
，则 A ．23n n a ＝ B ．1
3n n a －＝ C ．312n n S －＝ D ．213n n a －＝
6.已知121
()(sin )221
x x f x x x -=-⋅
+，则函数()y f x =的图象大致为（ ）
7．已知△ABC 的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，若AC ·CB ＝－8，则｜AB ｜ ＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若220a b ac -+=，则sin sin A
B
的取值范围是（ ）
A ．0,2⎛ ⎝⎭
B ．22⎛ ⎝⎭
C ．
D ．⎝⎭
9．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，
即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-(
)3,n n N
*
≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学
等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672
B ．673
C ．1346
D ．2019
10.将函数)6
2sin()(π
+
=x x f 的图象向右平移
6
π
，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得
到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（ ） .A 函数)(x g 的图象关于点)03
(，π
-
对称； .B 函数)(x g 的最小正周期为
2
π
；
.C 函数)(x g 的图象关于直线6
π
=
x 对称； .D 函数)(x g 在区间]3
2,6[
π
π上单调递增
11.若P 是函数x x x f ln )(=图像上的动点，已知点）
（1,0-A ，则直线AP 的斜率的取值范围是 A. [)∞+，
1 B. []1,0
C. (
]
e e ,1
-
D. (
]1
,-∞-e
12.设函数[]()2sin ,0,x
f x ae x x π=-∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（） A
4e π
B 4π
-
C 2e π
D 2π
-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设函数3
2ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是 ．
14．已知平面向量a ，b 满足a ·b ＝2，｜b ｜＝1，｜a －2b ｜＝2，则｜a ｜＝__________． 15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约
为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2
4m n
+=2
＝ ．（用数字作答）
16．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.
三、解答题 （共6小题，共70分.）
17．（本小题满分10分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，； 命题:q 实数x 满足
3
02x x
-≥-． （1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数x 的取值范围．
18.（本题满分12分）.如图，四边形ABCD 中90BAC ∠=，30ABC ∠=，AD CD ⊥，设A C D θ∠=. （1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ； （2）若6
ADB π
∠=
，求tan θ.
19.（本小题满分12分）
已知函数x
x
x f sin )(=
. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点），（)2
(2π
πf M 处的切线的纵截距；
（Ⅱ）求函数)(x f 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ππ，2
上的值域。

20.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2) 当d >1时，记c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
21. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流密度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流密度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）． 22.（12分）已知函数2()ln (0,)a x
f x x a a R x a
=+
+≠∈
（1）讨论函数()
f x的单调性；
（2）设
1
()2
a x
g x
x a a
=+-+，当0
a>时，证明：()()
f x
g x
≥.
罗高老校区高三年级上期第七次模拟考试
数学试卷（文科）参考答案
一：选择题
1.【答案】C
【解析】集合{|{|10}{|1}A x y x x x x ==
=-≥=≥,集合
{}
()20{|20}{02}|2|B x x x x x x x x ->==-<=<<,则{|1}R C A x x =<,()(){|01}0,1R C A B x x ∴⋂=<<=．故选C ．
2.【答案】D 【解析】A 不正确，当0a b ==时，有无数个实数λ满足b a λ=. B 不正确，在ABC △中，0AB BC CA ++=.
C 不正确，当0b =时，不等式化为a a a ≤≤，不等式中的等号显然成立.
D 正确，∵向量a 与b 不共线，∴,a b ，a b +与a b -均不为零向量.若a b +与a b -平行，则存在实数λ，使()
a b a b λ=+-，即()()11a b λλ-=+，∴1010λλ-=⎧⎨+=⎩，
，
λ无解，故假设不成立，即a b +与a b -不平
行，故选D. 3.C
4【解析】由题意，根据诱导公式可得sin 2cos 2cos 2626ππ3ππ
ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
又由余弦的倍角公式，可得2
21cos 212sin 12π6π33αα⎛⎫⎛⎫
-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即1
sin 263
πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ．
5.
6. D
7.B
8.D 【解析】
220a b ac -+=Q ，即(
)
222
2cos 0a a c ac B ac -+-+=，化简得2cos 0a B c a -+=.
由正弦定理边角互化思想得2sin cos sin sin 0A B C A -+=，
即()2sin cos sin sin 0A B A B A -++=，所以，sin cos cos sin sin 0A B A B A -+=，
()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ∴=-=-，
02
A π
<<
Q ，02
B π
<<
，2
2
B A π
π
∴-
<-<
，B A A ∴-=，2B A ∴=，
ABC ∆是锐角三角形，且3C A B A ππ=--=-，所以02022032A A A ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪
⎪
<-<⎪⎩
， 解得64A ππ
<<
，则cos 22A <<
，所以，sin sin 1sin sin 22cos 2A A B A A ==∈⎝⎭
， 因此，
sin sin A
B
的取值范围是⎝⎭
，故选：D. 9.C 10.D 11.A
12.【答案】B 【解析】令()0,f x =因为0x e >所以()2sin .x
x
a g x e =
= ()()'2cos sin .x
x x g x e
-=
令()'0,g x =得.4x π= 0,4x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭时，()'0,g x >所以()g x 在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递增；
,4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，()'0,g x <所以()g x 在,4ππ⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递减；
所以()g x 在4
x π
=
处取得最大值,又()()00g g π==
要使[]()2sin ,0,x
f x ae x x π=-∈有且仅有一个零点，则a
4π
-.故选：B
二．填空题
13． 057=--y x 14.22 15.
1
2-
16.900
三：解答题
17.
18.【答案】（1
）sin 2θ=（2
）tan θ=【解析】 （1）设AC a =
，则AB =
，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意4ABC ACD S S ∆∆=，
则
114cos sin 22a a a θθ=⋅⋅
，所以sin 2θ=. （2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠，即(
)sin sin 6BD πθ=
-①
BCD ∆中，
sin sin BD BC
BCD CDB =∠∠，即2sin sin 33BD a
ππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
② ①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，化简得
2sin θθ=
，所以tan 2
θ=
.
（19）
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ
204
，，
20.【解】 (1)(6分)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，
a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪
⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩
⎨⎧
a n ＝1
9（2n ＋79），b n ＝9·⎝⎛⎭
⎫29n －1. (2) (6分)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －
1，故c n ＝2n －12
n －1，于是
T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12
n －1，①
12T n ＝12＋322＋523＋724＋9
25＋…＋2n －12n .② ①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋1
2n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32
n －1.
21.
22.解：（1）22
121(2)()
()a x a x a f x x x a ax +-'=
-+=
………………2分 当0a >时，()0f x x a '>⇒>，()00f x x a '<⇒<< 当0a <时，()002f x x a '>⇒<<-，()02f x x a '<⇒>- ∴0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞递增
0a <时，()f x 在(0,2)a -上递增，在(2,)a -+∞递减………………6分
（2）设1
()()()ln 2a F x f x g x x x a
=-=++- 则221()(0)a x a
F x x x x x
-'=
-=> 0a > (0,)x a
∴∈时，()0F x '<，()F x 递减
(,)x a ∈+∞，()0,F x '>()F x 递增 1
()()l n 1F x F a a a
∴≥=+
-……………8分
设1()ln 1h x x x =+
-，(0)x >,则22111
()(0)x h x x x x x
-'=-=>
1x >时()0,h x '>时，()h x 递增， 01x <<()0h x '<，∴()h x 递减
()(1)0h x h ∴≥= ()()0F a h a ∴=≥ ()0F x ∴≥，即()()f x g x ≥………………12分。