广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间向量及其运算1

空间向量及其运算
教学目标：1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。

2.掌握共线向量、共面向量定理；了解有关概念 教学过程： 一、复习：
1、平面向量的概念
2、平面向量的加减和数乘运算 二、授新课： 1．空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：⑴空间的平移就是一个向量。

平移实际就是点到点的一次变换，因此我们说空间任
意两个向量是共面的
⑵向量一般用有向线段表示。

同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2．空间向量的运算
总结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
+==a +b ，
-=（指向被减向量），
=OP λa )(R ∈λ
运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++
⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(
说明：空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
011433221=+++++-A A A A A A A A A n n n ．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
a O
A a
⑴+ ⑵AA ++ 2
1
CC ++⑶
．
⑷)(3
1
AA ++ 解：⑴AC BC AB =+； ⑵ A A '++=C A A A AC =+； ⑶设M 是线段C C '的中点，则AM CM AC C C AD AB =+=++2
1
； ⑷设G 是线段C A '的三等份点，则AG C A A A AD AB ==++3
1
)(31。

向量AG AM C A AC ,,,如图所示。

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广． 3.共线向量（平行向量）
（1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于b,记作a ∥b
（2）共线向量定理：
对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb 。

推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式
OP OA t =+a ①
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

注：对l 上任一点P ，满足①式的实数t 是唯一的；对一个实数t ，①式在l 上确定的P 是唯一的，即直线l 的点和实数t 是一一对应的。

在l 上取AB =a 时，则①式可化为
OP OA t =+AB ，或OP (1)t OA tOB =-+ ②
OB y OA x OP += 且x+y=1
当1
2t =
时，点P 是线段AB 的中点，则 1
OP ()2
OA OB =+ ③
①或②式都叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式。

它们与平面直线的向量参数方程和线段中点公式相同。

4．共面向量
A
B
C
O
E
F
H
G
（1）概念：已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或a 在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

说明：⑴空间任意两个向量总是共面的；
⑵空间任意三个向量不一定共面；
⑶空间四边形ABCD 中AB 、AC 、AD 不共面。

（2）共面向量定理
如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是，存在实数对x 、y ，使p =x a +y b
证明：如果向量p 与向量a 、b 共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数对x 、y ，使p =x a +y b ；反之，如果存在实数对x 、y ，使p =x a +y b ，对空间任一点M 作MA =a ，
MB =b ，MA '=x a ，过点A '作A P '=y b ,则MP =p =x a +y b ，于是点P 在平面MAB 内，向
量p ∥平面MAB ，即向量p 与a 、b 共面。

推论：空间一点P 位于平面MAB 在有序实数对x 、y ，使MP =x MA +y MB
或对空间任一点O ，有OP =OM +x MA +y MB ①
可以证明平面MAB 内，点P 对应的实数对（x,y ）是唯一的，①式叫做平面MAB 的向量表达式。

例2、对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足向量关系式
OP =x OA +y OB +Z OC (其中x+y+z=1)的四点P 、A 、B 、C 是否共面。

解：原式可变形为
OP =（1-y-z ）OA +y OB +Z OC , OP -OA =y(OB -OA )+Z(OC -OA )
AP y AB z AC =+
∴点P 与A 、B 、C 共面。

例3、已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量
OE =k OA ，OF =k OB ,OG =k OC ,OH =k OD ,求证：
⑴四点E 、F 、G 、H 共面； ⑵平面EG ∥平面AC 。

证明：略 三、小结：
1、空间向量: 用有向线段表示, 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量, 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2、空间向量的运算: AB OA OB +==a +b ，
-=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ
运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(
3.共线向量（平行向量）的概念及空间向量共线的充要条件:
对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb 。

推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 OP OA t =+a ① 其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

OP OA t =+AB ，或OP (1)t OA tOB =-+ 或 OB y OA x OP += 且 x+y=1②
当12t =
时，点P 是线段AB 的中点，则1
OP ()2
OA OB =+ ③ ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式。

它们与平面直线的向量参数方程和线段中点公式相同。

4、共面向量: a ∥α ⑴空间任意两个向量总是共面的；⑵空间任意三个向量不一定共面；⑶空间四边形ABCD 中AB 、AC 、AD 不共面。

5、向量共面的充要条件: 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是，存在实数对x 、y ，使p =x a +y b
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x 、y ，使MP =x MA +y MB 或对空间任一点O ，有OP =OM +x MA +y MB ①
可以证明平面MAB 内，点P 对应的实数对（x,y ）是唯一的，①式叫做平面MAB 的向量表达式。

C
D
A
A '
C
B
D
B '
C '
D '
P
S
·
R
· Q
四、布置作业：
1.如图是正方体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，求证：这四个点共面。

.2.如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心。

求证：1
()3
AG AB AC AD =++
P36 1 2。