2-稳态热传导3

m
, (m 1, 2, )
sin( ) 0
这样就得到满足方程和边界条件式的无穷多个解
X m Bm sin( m x)
分离变量法
Y Csh( y) Dch( y)
由边界条件式可得Y(0)＝0，得D＝0。
Y Cm sh( m y)
相应地有
m Cm sin( m x)sh( m y),(m 1, 2, )
Cm sh( m h)


2

0
f1 ( x) sin( m x)dx
即
Cm
2


0
f1 ( x)sin( m x)dx sh( m H )
分离变量法
最后得到原问题的解为
( x, y )

2

m 1
sh(
1 m
sh( H)
m


y ) sin(
m

x) f1 ( x) sin(
2 2 0 2 2 x y y 0, f 0 ( x ) 令 θ＝θ1＋θ2＋θ3＋θ4， y H , f1 ( x ) 由于每个问题中都有3个齐次边界条件， x 0, 0 ( y ) 可以分别按以上介绍的方法求得解析解。x , 1 ( y )
d2X 2 X 0 2 dx
d 2Y 2 Y 0 2 dy
分离变量法
它们各自的通解为
X A cos( x) B sin( x)
Y Csh( y) Dch( y )
注意到x方向的两个边界条件都是齐次的，把式
( x, y) X ( x)Y ( y)
代入边界条件式，同样可分离变量得到
分离变量法
最后可得原问题的解为
2

sh(m y ) m m ( x, y ) sin( x) f1 ( x) sin( x)dx 0 m 1 sh(m H ) sh[m ( H y ) ] m m sin( x) f 0 ( x) sin( x)dx 0 m1 sh(m H )
高等传热学
-稳态热传导(三）
多维稳态导热
工程上经常遇到二维和三维稳态导热问题：如房间 墙角导热、热网地下埋管管道热损失、短肋片导热等。 在直角坐标系中，二维、常物性、无内热源导热微 分方程式为： 2 2
t t 2 0 2 x y
求解方法： ①分（解）析解法，适用简单形状、简单边界条件；
记
C exp(4 ql ) ，上式可整理为
1 C 4C 2 x2 y y0 y 0 2 1 C (1 C )
2
上式表明，该二维温度场的等温线是一簇圆，圆心 2 C C 1 坐标为x＝0， y y ，半径为 r C 1 y C 1
0

二维稳态导热
解析法通常需要涉及较复杂的数学理论， 而且至今只有少数具有特定几何形状和边 界条件的问题才能得到温度场的解析解。 因此，解析法的应用范围比较有限。 随着计算机技术的飞速发展，作为近似解 法之一的数值解法已得到广泛的应用，成 为解决各种实际工程问题的最有力的工具。

分离变量法
分离变量法可用于求解几何形状规则的区域中的导热 问题，是最早发展的解析法，也常用作其他解析法的 基础。
2 2 0 2 2 x y
x 0, 0 x , 0 y 0, 0
y H , f1 ( x) f ( x) t0
图 矩形区域稳态导热的边界条件
分离变量法
假设所求的温度分布θ(x, y)可以表示为一个x的函数 和一个y的函数的乘积，即
2 2 2 2 2 0 2 x y y 0, 2 0 y H , 2 0 x 0, 2 0 ( y ) x , 2 0
2 2 0 x 2 y 2 y 0, f 0 ( x ) y H , f1 ( x ) x 0, 0 ( y ) x , 1 ( y )
分离变量法

如果x方向(或y方向)的两个边界条件是齐次 的第二类或第三类边界条件，或是这三类 齐次边界条件的某种组合，则都可以直接 按以上例子的思路进行分离变量求解。
虚拟热源法

无内热源的稳态导热问题在常物性条件下满足拉 普拉斯方程。 拉普拉斯方程是线性齐次的偏微分方程，它的解 满足叠加原理。 而一些点热源、线热源、面热源在特定的区域(例 如无限大介质)中的解具有简明的形式。 如果某一温度场可以看作是几个这样的热源或热 汇(即负热源)形成的温度场的叠加，就可以比较 简单地求得问题的解析解。这种方法称为虚拟热 源法，它也同样可成功地应用于由拉普拉斯方程 描述的电场或理想流体流动的问题。
0
当θ＝0，即C＝1时，r→∞，圆心在y轴的＋∞处， 对应的等温线是x轴，即地表面。
虚拟热源法
②数值解法，适用复杂形状、复杂边界条件；
③利用导热形状因子，适用工程计算、两个边界的温 度恒定且已知。
2、数值解法：解决复杂问题的有效方法（软件、数值 传热学课程内容）
3、利用形状因子
多维稳态导热最常Βιβλιοθήκη 的工程计算方法，查阅相关资 料或手册直接进行，得到满足工程要求的近似解。
热流量计算：采用简便的计算公式，形状因子S为物 体几何参数的函数，它与物体几何形状、尺寸以及 导热问题特性紧密联系。 S t t
0

m

x)dx
分离变量法

在以上的问题中，如果不止一个边界条件 是非齐次的，就需要利用叠加原理把问题 分解为几个简单的问题。仍以矩形域中的 一般的第一类边界条件的稳态导热为例， 其数学描述为 2 2
0 x y y 0, f 0 ( x ) y H , f1 ( x ) x 0, 0 ( y ) x , 1 ( y )
x 0, X 0
A＝0
x , X 0
B sin( ) 0
分离变量法
B sin( ) 0
为了得到x的非零解(否则θ＝XY≡0，没有意义)， 必须有B≠0，因此必须有
该方程称为这一分离变量问题的特征方程，它有无穷 多个解。由于解的对称性，在这里仅取正的解即可，它 们是 m
2

2 H 2 H
h sh(m x H ) m m sin( y ) ( y ) sin( y )dy 1 0 H m 1 sh( m H ) h sh[m ( x) H ] m m sin( y ) 0 ( y ) sin( y )dy 0 sh(m H ) H m 1
0 代入方程， x y 由于方程是线性齐次的可以分离变量，得到
2 2
( x, y) X ( x)Y ( y) 2 2
X Y 2 X Y
上式第一个等号左边是x的函数，右边是y的函数。 因此，只有它们都等于一个常数时等式才有可能成立， 记这个常数为ε2。由此得到带一个待定常数的两个常微分方程
由于方程和3个边界条件都是线性齐次的，以上 得到的解的叠加仍满足方程和这3个边界条件，即
Cm sin( m x) sh( m y)
m 1
分离变量法
由边界条件式得
f1 ( x) Cm sin( m x) sh( m H )
m 1
可以确定级数中的系数Cm，即把f1(x)在(0, δ) 区间上展成正弦级数，可得
2 2

分离变量法
令 θ＝θ1＋θ2＋θ3＋θ4， θ1、θ2、θ3和θ4分别是 以下定解问题的解：
21 21 2 0 2 x y y 0,1 0 y H ,1 0 x 0,1 0 x , 1 1 ( y )
虚拟热源法

现在考察地下埋管的散热损失问题。参看 下图，地下埋设的热管道直径d=2r，埋深 为H。设埋管外表面和地面的温度分别维持 为常量tw和t0。
虚拟热源法

在常物性假定且不考虑温度分布沿管长方 向变化的情况下，土壤中的温度分布由二 维拉普拉斯方程和两个等温边界条件描述。
虚拟热源法

引进过余温度θ＝t－t0，则在y＝0的平面上有θ＝0。 把求解的区域由半无限大介质(土壤)扩展为整个 无限大介质，并设想在(0，y0)处有一个强度为一 ql(单位为W/m)的线热源，在(0，-y0)处有一个强 度为-ql的线热源(或称热汇)。单一的线热源在无 限大介质中形成的温度分布是柱坐标系中的一维 温度场，即线热源和线热汇引起的温度分布分别 为：
二维稳态导热
二维或三维的稳态导热问题，在常物性的 条件下由泊松方程或拉普拉斯方程描述。 分析二维或三维稳态导热的方法主要有解 析法和数值解法。 解析法的优点是能够得到适合于同类问题 的一般的函数关系式，各参数之间关系的 物理意义明确，还可进一步作微分和积分 等数学运算。解析解还常常用来作为检验 各种近似解精度的依据。
虚拟热源法

单一的线热源在无限大介质中形成的温度 分布是柱坐标系中的一维温度场，即线热 源和线热汇引起的温度分布分别为
ql r1 1 ln 2 y0 ql r2 2 ln 2 y0
虚拟热源法

由于问题的线性性，这两个温度分布的叠 加仍然满足拉普拉斯方程，而且由于其对 称性，y＝0处的边界条件即得到满足，即 根据坐标间的几何关系， 对任一点P(x, y)有
x 2 ( y0 y ) 2 ql ln 2 x 2 ( y0 y ) 2
假定θ为某一确定的值，就可以得到等温线 的方程 2 2
x ( y0 y) 4 exp 2 2 x ( y0 y) ql
记
C exp(4 ql )
虚拟热源法
x 2 ( y0 y)2 4 exp 2 2 x ( y0 y) ql
r1 x 2 ( y0 y ) 2
ql r2 1 2 ln 2 r1
r2 x 2 ( y0 y ) 2
虚拟热源法
根据坐标间的几何关系，对任一点P(x, y)有
r1 x ( y0 y )
2 2
r2 x 2 ( y0 y ) 2
则在直角坐标系中表示的温度分布为
23 23 0 x 2 y 2 y 0,3 0 y H ,3 f1 ( x) x 0,3 0 x , 3 0
2 4 2 4 0 x 2 y 2 y 0, 4 f 0 ( x) y H , 4 0 x 0, 4 0 x , 4 0
1 2
一维无限大平壁的形状因子： S A
一维圆筒壁的形状因子：S 2 l ln d2 d1
说明
形状因子法的适用条件： 导热问题主要由两个等温的边界组成。 • 一维问题（平壁，圆筒壁，球壁或其他变截面） 两个等温表面间的导热量； • 二维或三维问题中两个等温表面间的导热量。 工程中常见的复杂结构导热问题：
由于求解过程中分离变量的要求，这一方法适合于处理 齐次问题。下面以一个矩形区域中无内热源的稳态导热 问题为例说明分离变量法的具体思路。
分离变量法
见图，矩形区域的4个边界中有3个边界维持 均匀的温度t0；第4个边界条件为已知的温度 分布f(x)。引进过余温度θ＝t－t0，可使3个 等温边界条件变为齐次的。二维稳态导热由 拉普拉斯方程描述：