教案高教版(数学)第二册——813椭圆的性质(中职教育).docx

丄教学目标
知识目标：
1、熟练掌握椭圆范伟I,对称性，顶点等简单几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的-•些实际应用；
2、学握标准方程中a, b, c, e的儿何意义。

能力目标：
1、使学生掌握利川方程研究曲线性质的棊木方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等；
2、通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、捕象、概括的能力，加强数形结介等数学能力的培养。

德育目标：
1、通过冇关椭闘几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭鬪的几何性质的积极性;
2、通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教冇，通过对椭圆对称美的感受, 激发学生对美好事物的追求。

厶教学重点
椭圆的简单几何性质及其探究过程。

丄教学难点
利用双曲线方程研究曲线几何性质的棊木方法和离心率定义的给出过程。

丄教学方法
讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流。

亠课时安排
2课吋
丄教学过程
问：为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？其根木原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它乂貝有哪些特
象。

一、复习引入：
1、椭圆定义：在平而内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的
动点的轨迹。

3、问题：
（1） 椭圆曲线的儿何意义是什么？
（2） “范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中 的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3） 标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4） 椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是 多少？ a,b,c 的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它
的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭関草图的方法是怎样的?
二、讲解新课：
究椭圆的性质。

（利用方程研究，说明结论
与由图形观察一致） -a < x < a, -b<x<b , 圆落在x = ±d,y = ±b 组丿J 戈的矩形中。

（2）对称性:
性？让我们i 起來研究一下
椭圆的儿何性质, = l （a 〉b 〉O ）为研究対
2、标准方程：二+ ^ = 1,
cr
= l(a>b>0)
2
由椭圆方程a
b 2 （1）范围：
X 2
从标准方程得出牛51,
cr 討即
把方程屮的尢换成-兀方程不变，图象关于y轴对称。

y换成-)，方程不变，图象关于兀轴对称。

把兀,y同时换成-兀-y方程也不变，图象关于原点对称。

如果曲线具有关于兀轴对称，关于y轴対称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

％轴、y轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

2 2
在椭圆罕+N二1的方程里，令y = o得x = ,因此椭圆和兀轴有两个交点
a b
2 ,2
A(—a, 0), A(0,a),它们是椭圆—-+—z- = 1的顶点。

CT /T
令兀=0,得y = ±b ,因此椭圆和y轴有两个交B(-b,0),B(0,b),它们也是椭圆
2 2
罕・=1的顶点。

CT /T
因此椭圆共有四个顶点：人(—a,0),A(0,a) , B(—b,0),B(0,b)
加两焦点R (-c,0), F2 (0, c)共有六个特殊点。

人出叫椭圆的长轴，B/?叫椭圆的短轴.长分别为2a,2b
a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的顶
点即为椭圆与对称轴的交点o
至此我们从椭I员【的方程中直接可以看出它的范
围，对称性，顶点。

因而只需少量描点就可以较正确的
作图了。

⑷离心率：
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同。

这种扁平性质由什么來决定呢? 概念：椭圆焦距与长轴长之比。

泄义式：£ = —=> e = . 1 — (—)2。

a V a
范围：0 v £ v 1。

考察椭圆形状与幺的关系：
€->O,CT O,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，
此吋也可认为圆为椭圆在€二0吋的特例。

«T1,CTQ椭I员1变扁，直至成为极限位置线段
F}F2，此时也可认为圆为椭圆在w = 1时的特例。

三、讲解范例: 例1、求椭圆16/+ 25^=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描
点法血出它的图形。

解：把已知方程化成标准方程
所以，a=5,b = 4,c = ^52-42 =3,
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2tz = 10,2/? = 8，离心率两个焦点分a 5
别为片(—3,0),坊(0,3)，椭圆的四个顶点是A,(-5,0), A(0,5), B】(—5,0),爲(0,5)。

将已知方程变形为y = ±-y/25-x2 ,根据y = -^25-x2 ,在05x55的范围内算
出几个点的坐标(x,y)：
⑵描点作图。

先描点画出椭圆在第一彖限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)o要强调：利用对称性可以使计算量大大减少。

例2、点M(x,y)与定点F(c,O)的距离和它到直线儿x =—的距离的比试常数c
—(6/>c>0),求点M的轨迹。

a
本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥Illi线的统一定义做准备的,
同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：
设d是点M到直线1的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P
1
卩_ 3_2迈cos。

1 I 1
MN = p\+ pz
3 - 2A/2 COS 0 3 + 2>/2 cos 0
6
9-8cos2^
将上式化简,得：(a2-c2)x2+a2y2 =a2(a2-c2) 设a2-c2=b2,就可化成:
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆。

由此例不难归纳出椭圆的笫二定义。

四、椭圆的第二定义
1、定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定在线的距离的比是常数0 = £(0" <1)时，这个a
点M的轨迹是椭闘。

定点是椭闘的焦点，定直线叫做椭闘的准线，常数e是椭I员【的离心率。

2、说明
2 2 2
(1)对于椭圆冷+真=1,相应于焦点F(0,c)的准线方程是x =—。

根据椭圆的对
er b~ c
称性，相应于焦点F(-c,0)的准线方程是x = ~—。

C
F *(0, -c)的准线方程是y 二—一 o c
这时还要讲清e 的儿何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比。

归纳小结 标准方程 2 2 二+R （d>b 〉o ） a b
2 2 尹計1(宀>0) 图 象 A
A / V
—t — k / 丿
范
ffl Ixl Wa, \y\ Wb Ixl yl Wd 对称性 关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成屮心对称。

顶点坐标
（±。

,0 ） ,（0, 土 b ） （土b ,0 ） ,（0, ± a ） 焦点坐标
（± c,0）
（0, ± c ） 半轴长 长半轴长为a,短半轴长为力.
焦 距
焦距为2c;
3,b,咲系 a 2=b 2+c 2
离心率
e = ——
a 2
(2)对于椭圆厶-+
=1,相应于焦点F(O,c)的准线方程是y 相应于焦点。