(人教)高中数学选修1-2课件：第2章 推理与证明2.2.1

－2ca)＞0， • 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0， • 因为a，b，c∈R， • 所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
• 又因为a，b，c不全相等， • 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0. • 所以原不等式a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca成立． • 证法二：(综合法) • 因为a，b，c∈R， • 所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. • 又因为a、b、c不全相等， • 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.
P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
证法 或执 果索
__定_义___、__公_理___等)为止，这 得到一个明显成立的条件 因法
种证明方法叫作分析法
• 2．分析法的特点 • (1)思维特点：从“未知”看“需知”，逐步
靠拢“已知”，其推理过程实际上是逐步寻 求结论成立的充分条件的过程． • (2)思维过程：由结果追溯原因，即寻求结果 成立的充分条件． • (3)优点：容易探路且探路与表述合一；缺点
• [问题] 歇后语表明了一种什么样的思维过 程？
• [提示] 顺着藤，摸到瓜，类比顺着已知条 件，推出要证的结论
综合法
定义
推证过程
特点
利用__已_知__条_件____和某 P⇒Q1 →
些数学_定__义__、_定_理___、 __公__理_____等，经过一
Q1⇒Q2
→
系列的___推_理__论_证_____， Q2⇒Q3 →…→
顺推 证法 或由
最后推导出所要证明 Qn⇒Q (P 表示_已_知__条_件____、已 因导
的结论成立，这种证明 有的_定_义___、_公_理___、_定_理___等，果法
方法叫作综合法
Q 表示__所_要__证_明__的_结__论_______)
• 1．对综合法的四点说明 • (1)思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推
答案： 6
• 4．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋ b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
• 证明： 证法一：(分析法) • 要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca， • 只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)， • 只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2
a1b>0，
证法三：∵a，b∈R＋， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b ＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 ab·ba＝4， 当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
•
1.综合法是数学证明中最常用
的一种方法，本题巧妙地应用了“1”的代换
及基本不等式．
• 2．综合法证明不等式常用“两个正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数”这一结论 ，运用时要结合题目条件，有时要适当变形
• A．充分条件 B．必要条件 • C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 • 解析： ∵②⇒①，∴②是①的充分条件． • 答案： A
3．已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，则 xy 的最小值是________． 解析： 由 x>0，y>0，得 2＝2x＋3y≥2 2x·3y， 所以 xy≥6，当且仅当2x＝3y＝1，即 x＝2，y＝3 时，xy 取 得最小值为 6.
•2.2 直接证明与间接证明 •2.2.1 综合法和分析法
自主学习•新知突破
• 1．了解直接证明的两种基本方法——综合法 与分析法．
• 2．理解综合法与分析法的思考过程与特点． • 3．会用综合法与分析法解决数学问题．
• 一个歇后语：“瞎子摘葫芦——顺藤摸瓜”．
• 一句诗：“问渠哪得清如许？为有源头活水 来”．
1．已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证：b＋ac－a＋ a＋bc－b＋a＋bc－c>3.
证明： ∵a，b，c 全不相等， ∴ba与ab，ac与ac，bc与bc全不相等． ∴ba＋ab>2，ac＋ac>2，bc＋bc>2. 三式相加得ba＋ac＋bc＋ab＋ac＋bc>6， ∴ba＋ac－1＋bc＋ab－1＋ac＋bc－1>3. 即b＋ac－a＋a＋bc－b＋a＋bc－c>3.
向“未知”，其推理过程实际上是寻找结论 成立的必要条件的过程．
• (2)优点：条理清晰，易于表述．
• (3)缺点：探路艰难，易生枝节．
• (4)思维过程：原因→结果．
分析法
定义
框图表示
特点
从要证明的__结_论__出_发___，逐步
寻求使它成立的_充__分_条__件___， Q⇐P1 →
逆推
直至最后，把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、_定__理___、
分析法的应用
已知非零向量 a⊥b，求证：||aa|＋ －|bb||≤ 2. [思路点拨] 本题含有向量的模，可用分析法证明．
．
3．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和
已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R)．
(2)(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形后
a2
＋b2≥2ab，
a＋b 2
2≥ab，a2＋2 b2≥a＋2 b2.
(3)若 a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，特别地ba＋ab≥2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)，此结论可由 a2 ＋b2≥2ab 证得，此结论是一个非常重要的不等式，很多不等式 的证明都用到该结论．
合作探究•课堂互动
综合法的应用
已知 a，b>0，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. [思路点拨] 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得 出结论．
证明： 证法一：∵a，b∈R＋，且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12， ∴1a＋1b＝a＋ abb＝a1b≥4.
证法二：∵a，b∈R＋， ∴a＋b≥2 ab>0，1a＋1b≥2 ∴(a＋b)1a＋1b≥4， 又 a＋b＝1， ∴1a＋1b≥4.
• 1．以下命题பைடு நூலகம்正确的是( ) • A．综合法是执果索因的逆推法 • B．综合法是由因导果的顺推法 • C．综合法是因果互推的两头凑法 • D．综合法就是举反例 • 解析： 综合法就是从已知条件(因)出发，
利用已有知识进行证明结论(果)的方法． • 答案： B
• 2．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜ D，这里②是①的( )