2010年广东高考理科数学最后一题的几何解法

2010年广东高考理科数学最后一题的几何解法
一位参加高考阅卷的老师回来对我说：高考题最后一题的第二问太难了，华附、广雅的学生都搞不定，我看了半天还看不懂”。

真的这么难吗？
2010年广东省高考理科数学最后一题是这样的：
设12(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离(,)p A B 为2121(,)||||.p A B x x y y =-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点12(,)A x y ，22(,)B x y ,
(1)若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,);p A C p C B p A B +≥
（2）在平面xOy 上是否存在点(,)C x y ，同时满足:
①(,)(,)(,)p A C p C B p A B +=； ② (,)(,)p A C p C B =
若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.
解：（1）这一问简单，下面证明第二问。

（2）满足条件的点C 是存在的。

过A 、B 分别作x 轴、y 轴的平行线，设两条平行线相交于点M ，则
折线A-M-B 的中点就是点C 。

证明太容易了。