数字信号处理复习讲稿
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(n) ----描述一个点，通过度和移位可表示任意一个点。
如： A (n k ) 表示一个值为A，在n=k处的点。 通过组合可以表示任意有限长序列。特别是无规则序列。
u (n) ----描述一个起点到无穷的一段等值序列。
如： Au(n k )
表示从n=k处到正无穷一系列值为A的点
一般用于限定单边序列，或组合产生值有片段性的序列
an
e
jn
(e )
j n
e jn e jn cos(n) 2
e jn e jn sin(n) 2j
主要用于描述周期序列等无穷序列。 （三）序列的运算 1、序列幅度运算（纵轴） 加（减）乘----相同序号做运算，没有表达的序号对应的幅值默认为0， 如：x1(n)={0,1,2,3,4,5 }；x2(n)={ 3,4,5 }； y(n)= x1(n) x2(n)={0,4,10,0,0,0 };
Y ( z) z 1 H ( z) X ( z ) 1 0.4 z 1 0.21z 2
• 二、系统
4、频率响应函数 H (e j )
Y (e j ) 表达系统输出比输入与频率关系 H (e ) X (e j )
j
是频率相同的输出信号与输入信号之比。描述了系统的频率特性。 在系统函数中，极点在单位圆内，傅里叶变换存在时。系统函数代入 z 可得： 如：
j n 5
cos(0.3n); 取n的系数0.3， N k的系数
2k 20k ， 0.3 3
20 为无理数， 为非周期序列。 3
• 二、系统
（一）系统概念
x(n) ⇒[T [*]] ⇒y(n)
序列 x(n) 经过系统处理，输出序列 y(n)
例：某单片机将端口x数据输入，放大3倍，然后输出到端口y；过程为： 读x→×3→写端口y，从输入到输出经过三个机器周期。系统可以 用差分方程描述为：
为线性系统
• 二、系统
2、时变系统与非时变系统
输出与输入作用系统的起点时刻无关的系统，称为时不变系统。否则为时变系统。
y(n n0 ) T x(n n0 )
输出也延时n0 输入延时n0
令w(n) x(n n0 ) 此为差分方程
例： 系统差分的方程：
y(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
y(n) x((n m))N RN (n)
y (n)后，再移位m， ----有序号为0~M-1的序列 x(n) 以N为周期拓展周期序列 ~ 再取主值区间0~N-1获得序列。
直接操作是：将移位产生对0~ N-1区间所溢出的部分移回另一端。 如： R4 (n) 0,1,2,3,4,5
y(n) x((n 3))8 R8 (n) 5,0,0,0,1,2,3,4
R4 (n) u(n) u(n 4) 如：
• 一、序列
RN (n) ----描述有限长度的一段等值序列。
如：ARN (n k ) 表示从n=k处到k+N-1一系列值为A的点
一般用于限定有限长序列，或组合产生值有片段性的序列 如： x(n) nR4 (n 2) 表示x(n)={0,0,2,3,4,5 } 2、按指数规律描述序列
则： w(2n) x(2n n0 ) 将此两式代入
n n0 n
代入
T w(n) (n 3) w(n) 2w(2n) 得：
T x(n n0 ) (n 3) x(n n0 ) 2w(2n n0 )
y(n n0 ) (n n0 3) x(n n0 ) 2x(2(n n0 ))
y (n) = 3 x(n - 2)
T x(n) 3x(n - 2) y(n) T x(n)
ay(n) aT x(n) ()T ax(n) y (n n0 ) ()T x(n n0 )
算子T [*]是关于*的运算，是*的函数，*是变量；
系统对输入序列幅度和序号都做了运算。当*是序列x(n) 时，则是关于 x(n) 的运算。
• 一、序列
2、序列序号运算（横轴） 1）、移位
y(n) x(n n0 )
2）、翻转
y ( n ) x ( -n )
“+”左移；“-”右移。
----将原序列 x(n) 关于原点做偶对称获得的新序列 y(n)
3）、尺度变换
y(n) x(m n) ---- x(n) 从n=0起，每m个点取一个值，形成新序列 y (n)
w1 (n) w2 (n) 则为线性系统
• 二、系统
例： 系统差分的方程： y(n) (n 3) x(n) 2x(2n)
T x1 (n) (n 3) x1 (n) 2 x1 (2n)
T x(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
T x2 (n) (n 3) x2 (n) 2 x2 (2n)
代入得：aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)] a[(n 3) x1 (n) 2x1 (2n)] b[(n 3) x2 (n) 2x2 (2n)]
设x(n) ax1 (n) bx2 (n) （差分方程）
代入 T x(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
x(2n) ax1 (2n) bx2 (2n)
得：T ax1 (n) bx2 (n) (n 3)ax1 (n) bx2 (n) 2ax1 (2n) bx2 (2n) T ax1 (n) bx2 (n) aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
j
• 二、系统
（三）系统性质
1、线性系统与非线性系统
满足线性叠加的系统，称为线性系统。否则为非线性系统。
T ax1 (n) bx2 (n) aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
输入线性叠加 输出线性叠加
y2 (n) 时。
设输入分别为 x1 (n)和x2 (n)，输出分别对应为 y1 (n)和 即：
T x(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
T x(n n0 ) (n 3)x(n n0 ) 2x(2n n0 ) 先移位后其它 y(n n0 ) T x(n n0 )
1 y ( n) x ( n) ---- x(n) 从n=0起， 每隔相邻间隔插入m-1个0值的点成新序列 y (n) m
4）、周期延拓 ~ y (n) x((n))
长度为M的序列 x(n) ，后面加0扩展长度为N的序列， ~ 然后以N为周期进行拓展形成周期序列 y (n)
N
• 一、序列
5）、循环移位
• 一、序列
3、序列的对称性分解 1）任意实序列可分解为一个奇对称序列和一个偶对称序列。
x(n) xe (n) xo (n)
偶对称序列：xe (n) xe (n) ；原点值可以为非0， 奇对称序列：xo (n) xo (n) ；原点值肯定为0，
关系为：
xe ( n )
1 [ x(n) x(n)] 2 1 xo (n) [ x(n) x(n)] 2
是关于n的函数 2、单位脉冲响应 h(n) 差分方程输入 (n) 时的响应，是最简单的输入序列时的响应。 是用序列方式描述系统：
如：
h(n) 3 (n) 2 (n 1) (n 2) {3,2,1}
h(n) 0.4h(n 1) 0.21h(n 2) (n 1)
两边 2 X ( z) z 1 X ( z) z 2
Y ( z) 0.4Y ( z) z 1 0.21 Y ( z) z 2 X ( z) z 1
H ( z)
Y ( z) 3 2 z 1 z 2 X ( z)
• 一、序列
（四）序列的周期性判断 序列周期性判断及周期N求法---2k 1）取表达式中n的系数（不包括j），用 除以该系数； 2）结果取k的系数，为有理数，为周期序列，否则为非周期序列 3）取正整数k使得除式为最小正整数N，N就是周期。 例：
e
2k ; 取n的系数 n， 有N 10k， 5 5 k的系数10为有理数，取 k 1, N 10； 即为序列周期。
* e
* 共轭反对称序列： X o (n) X o (n)
• 一、序列
3）对有限长度的序列有： 设长度为M的序列X (n) 序号区间为0~M，中心点为τ=M/2，同样可以定义序 列的对称性： 共轭对称序列：
* X e (n) X e (M 1 n)
共轭反对称序列： X o (n) X (M 1 n)
数字信号处理复习
复习内容
桂林航天工业学院
数字信号处理复习大纲
一、序列 二、系统 三、变换
四、卷积
五、FFT 六、网络结构 七、滤波器（系统）
• 一、序列
2、无限长序列： 必须是有规律的，才可描述；一般用数学表达式并用基本序列限定描述。
x(n) a n u(n)
掌握各种表示法之间转换 （二）基本序列 1、按片段方式描述的序列
2）扩展到复数序列有（多共轭运算） 任意序列可分解为一个共轭对称序列和一个反共轭对称序列。
X (n) X e (n) X o (n)
关系为： X e (n) 1 [ X (n) X * (n)]
2 1 X o (n) [ X (n) X * (n)] 2
共轭对称序列： X e (n) X (n)
注意： x(n) 的运算有幅度运算和序号运算。
• 二、系统
（二）系统描述
1、差分方程
直接描述输出输入关系，系统建模时获得，是系统最基本描述。
如：
y(n) 3x(n) 2 x(n 1) x(n 2) y(n) 0.4 y(n 1) 0.21y(n 2) x(n 1)
无法写出h(n)
• 二、系统
3、系统函数 H ( z ) 表达系统输出比输入的关系 H ( z )
Y ( z) X ( z)
序列的移位对应延时z-1，将系统用多项式描述。是差分方程的零状态响应。
如差分方程： y(n) 3x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
y(n) 0.4 y(n 1) 0.21y(n 2) x(n 1)
H ( z) Y ( z) 3 2 z 1 z 2 X ( z)
e j
Y ( z) z 1 H ( z) X ( z ) 1 0.4 z 1 0.21z 2
H (e j ) 3 2e j e2 j
e - j H (e ) 1 0.4e - j 0.21e - 2 j
y1 (n) = T [ x1 (n)]
y2 (n) = T [ x2 (n)]
如果输入是线性组合
x(n) ax1 (n) bx2 (n)
输出为 w1 (n) T [ax1 (n) bx2 (n)]
输出的线性组合
若
w2 (n) ay1 (n) by2 (n) aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
* o
则序列关于τ对称
第一个点 X (0)与最后一个点 X * (M 1)对称 任意有限长序列可分解为一个共轭对称序列和一个反共轭对称序列。
X (n) X e (n) X o (n)
在长度为N的实数x(n)的X(k)=DFT[x(n)]中，X(k)的第一个点X(0)和下 一个周期拓展的第一个点X(N)对称； 在本周期内，第一个点X(0) 无对称点，第二点对称本周期的最后一 个点X(N-1)。 所以X(k)是关于长度为M=N+1点的对称序列。即N=M-1，对称表达式 改写为： * N 1 N 1 M 共轭对称序列： X e (n) X e ( N n) 1 序列关于τ对称 2 2 2 * 共轭反对称序列： X o (n) X o ( N n)
如： A (n k ) 表示一个值为A，在n=k处的点。 通过组合可以表示任意有限长序列。特别是无规则序列。
u (n) ----描述一个起点到无穷的一段等值序列。
如： Au(n k )
表示从n=k处到正无穷一系列值为A的点
一般用于限定单边序列，或组合产生值有片段性的序列
an
e
jn
(e )
j n
e jn e jn cos(n) 2
e jn e jn sin(n) 2j
主要用于描述周期序列等无穷序列。 （三）序列的运算 1、序列幅度运算（纵轴） 加（减）乘----相同序号做运算，没有表达的序号对应的幅值默认为0， 如：x1(n)={0,1,2,3,4,5 }；x2(n)={ 3,4,5 }； y(n)= x1(n) x2(n)={0,4,10,0,0,0 };
Y ( z) z 1 H ( z) X ( z ) 1 0.4 z 1 0.21z 2
• 二、系统
4、频率响应函数 H (e j )
Y (e j ) 表达系统输出比输入与频率关系 H (e ) X (e j )
j
是频率相同的输出信号与输入信号之比。描述了系统的频率特性。 在系统函数中，极点在单位圆内，傅里叶变换存在时。系统函数代入 z 可得： 如：
j n 5
cos(0.3n); 取n的系数0.3， N k的系数
2k 20k ， 0.3 3
20 为无理数， 为非周期序列。 3
• 二、系统
（一）系统概念
x(n) ⇒[T [*]] ⇒y(n)
序列 x(n) 经过系统处理，输出序列 y(n)
例：某单片机将端口x数据输入，放大3倍，然后输出到端口y；过程为： 读x→×3→写端口y，从输入到输出经过三个机器周期。系统可以 用差分方程描述为：
为线性系统
• 二、系统
2、时变系统与非时变系统
输出与输入作用系统的起点时刻无关的系统，称为时不变系统。否则为时变系统。
y(n n0 ) T x(n n0 )
输出也延时n0 输入延时n0
令w(n) x(n n0 ) 此为差分方程
例： 系统差分的方程：
y(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
y(n) x((n m))N RN (n)
y (n)后，再移位m， ----有序号为0~M-1的序列 x(n) 以N为周期拓展周期序列 ~ 再取主值区间0~N-1获得序列。
直接操作是：将移位产生对0~ N-1区间所溢出的部分移回另一端。 如： R4 (n) 0,1,2,3,4,5
y(n) x((n 3))8 R8 (n) 5,0,0,0,1,2,3,4
R4 (n) u(n) u(n 4) 如：
• 一、序列
RN (n) ----描述有限长度的一段等值序列。
如：ARN (n k ) 表示从n=k处到k+N-1一系列值为A的点
一般用于限定有限长序列，或组合产生值有片段性的序列 如： x(n) nR4 (n 2) 表示x(n)={0,0,2,3,4,5 } 2、按指数规律描述序列
则： w(2n) x(2n n0 ) 将此两式代入
n n0 n
代入
T w(n) (n 3) w(n) 2w(2n) 得：
T x(n n0 ) (n 3) x(n n0 ) 2w(2n n0 )
y(n n0 ) (n n0 3) x(n n0 ) 2x(2(n n0 ))
y (n) = 3 x(n - 2)
T x(n) 3x(n - 2) y(n) T x(n)
ay(n) aT x(n) ()T ax(n) y (n n0 ) ()T x(n n0 )
算子T [*]是关于*的运算，是*的函数，*是变量；
系统对输入序列幅度和序号都做了运算。当*是序列x(n) 时，则是关于 x(n) 的运算。
• 一、序列
2、序列序号运算（横轴） 1）、移位
y(n) x(n n0 )
2）、翻转
y ( n ) x ( -n )
“+”左移；“-”右移。
----将原序列 x(n) 关于原点做偶对称获得的新序列 y(n)
3）、尺度变换
y(n) x(m n) ---- x(n) 从n=0起，每m个点取一个值，形成新序列 y (n)
w1 (n) w2 (n) 则为线性系统
• 二、系统
例： 系统差分的方程： y(n) (n 3) x(n) 2x(2n)
T x1 (n) (n 3) x1 (n) 2 x1 (2n)
T x(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
T x2 (n) (n 3) x2 (n) 2 x2 (2n)
代入得：aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)] a[(n 3) x1 (n) 2x1 (2n)] b[(n 3) x2 (n) 2x2 (2n)]
设x(n) ax1 (n) bx2 (n) （差分方程）
代入 T x(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
x(2n) ax1 (2n) bx2 (2n)
得：T ax1 (n) bx2 (n) (n 3)ax1 (n) bx2 (n) 2ax1 (2n) bx2 (2n) T ax1 (n) bx2 (n) aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
j
• 二、系统
（三）系统性质
1、线性系统与非线性系统
满足线性叠加的系统，称为线性系统。否则为非线性系统。
T ax1 (n) bx2 (n) aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
输入线性叠加 输出线性叠加
y2 (n) 时。
设输入分别为 x1 (n)和x2 (n)，输出分别对应为 y1 (n)和 即：
T x(n) (n 3) x(n) 2 x(2n)
T x(n n0 ) (n 3)x(n n0 ) 2x(2n n0 ) 先移位后其它 y(n n0 ) T x(n n0 )
1 y ( n) x ( n) ---- x(n) 从n=0起， 每隔相邻间隔插入m-1个0值的点成新序列 y (n) m
4）、周期延拓 ~ y (n) x((n))
长度为M的序列 x(n) ，后面加0扩展长度为N的序列， ~ 然后以N为周期进行拓展形成周期序列 y (n)
N
• 一、序列
5）、循环移位
• 一、序列
3、序列的对称性分解 1）任意实序列可分解为一个奇对称序列和一个偶对称序列。
x(n) xe (n) xo (n)
偶对称序列：xe (n) xe (n) ；原点值可以为非0， 奇对称序列：xo (n) xo (n) ；原点值肯定为0，
关系为：
xe ( n )
1 [ x(n) x(n)] 2 1 xo (n) [ x(n) x(n)] 2
是关于n的函数 2、单位脉冲响应 h(n) 差分方程输入 (n) 时的响应，是最简单的输入序列时的响应。 是用序列方式描述系统：
如：
h(n) 3 (n) 2 (n 1) (n 2) {3,2,1}
h(n) 0.4h(n 1) 0.21h(n 2) (n 1)
两边 2 X ( z) z 1 X ( z) z 2
Y ( z) 0.4Y ( z) z 1 0.21 Y ( z) z 2 X ( z) z 1
H ( z)
Y ( z) 3 2 z 1 z 2 X ( z)
• 一、序列
（四）序列的周期性判断 序列周期性判断及周期N求法---2k 1）取表达式中n的系数（不包括j），用 除以该系数； 2）结果取k的系数，为有理数，为周期序列，否则为非周期序列 3）取正整数k使得除式为最小正整数N，N就是周期。 例：
e
2k ; 取n的系数 n， 有N 10k， 5 5 k的系数10为有理数，取 k 1, N 10； 即为序列周期。
* e
* 共轭反对称序列： X o (n) X o (n)
• 一、序列
3）对有限长度的序列有： 设长度为M的序列X (n) 序号区间为0~M，中心点为τ=M/2，同样可以定义序 列的对称性： 共轭对称序列：
* X e (n) X e (M 1 n)
共轭反对称序列： X o (n) X (M 1 n)
数字信号处理复习
复习内容
桂林航天工业学院
数字信号处理复习大纲
一、序列 二、系统 三、变换
四、卷积
五、FFT 六、网络结构 七、滤波器（系统）
• 一、序列
2、无限长序列： 必须是有规律的，才可描述；一般用数学表达式并用基本序列限定描述。
x(n) a n u(n)
掌握各种表示法之间转换 （二）基本序列 1、按片段方式描述的序列
2）扩展到复数序列有（多共轭运算） 任意序列可分解为一个共轭对称序列和一个反共轭对称序列。
X (n) X e (n) X o (n)
关系为： X e (n) 1 [ X (n) X * (n)]
2 1 X o (n) [ X (n) X * (n)] 2
共轭对称序列： X e (n) X (n)
注意： x(n) 的运算有幅度运算和序号运算。
• 二、系统
（二）系统描述
1、差分方程
直接描述输出输入关系，系统建模时获得，是系统最基本描述。
如：
y(n) 3x(n) 2 x(n 1) x(n 2) y(n) 0.4 y(n 1) 0.21y(n 2) x(n 1)
无法写出h(n)
• 二、系统
3、系统函数 H ( z ) 表达系统输出比输入的关系 H ( z )
Y ( z) X ( z)
序列的移位对应延时z-1，将系统用多项式描述。是差分方程的零状态响应。
如差分方程： y(n) 3x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
y(n) 0.4 y(n 1) 0.21y(n 2) x(n 1)
H ( z) Y ( z) 3 2 z 1 z 2 X ( z)
e j
Y ( z) z 1 H ( z) X ( z ) 1 0.4 z 1 0.21z 2
H (e j ) 3 2e j e2 j
e - j H (e ) 1 0.4e - j 0.21e - 2 j
y1 (n) = T [ x1 (n)]
y2 (n) = T [ x2 (n)]
如果输入是线性组合
x(n) ax1 (n) bx2 (n)
输出为 w1 (n) T [ax1 (n) bx2 (n)]
输出的线性组合
若
w2 (n) ay1 (n) by2 (n) aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)]
* o
则序列关于τ对称
第一个点 X (0)与最后一个点 X * (M 1)对称 任意有限长序列可分解为一个共轭对称序列和一个反共轭对称序列。
X (n) X e (n) X o (n)
在长度为N的实数x(n)的X(k)=DFT[x(n)]中，X(k)的第一个点X(0)和下 一个周期拓展的第一个点X(N)对称； 在本周期内，第一个点X(0) 无对称点，第二点对称本周期的最后一 个点X(N-1)。 所以X(k)是关于长度为M=N+1点的对称序列。即N=M-1，对称表达式 改写为： * N 1 N 1 M 共轭对称序列： X e (n) X e ( N n) 1 序列关于τ对称 2 2 2 * 共轭反对称序列： X o (n) X o ( N n)