高中数学复习课件-3..直线的倾斜角与斜率

线的倾斜角．
2.直线斜率的定义
倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常
用k表示，即k＝tan ( ≠ 900 )
倾斜角为900的直线的斜率不存在.
3.直线的斜率公式
k y2 y1 x2 x1
或
k
y1 x1
y2 x2
（x1
x2）
∴l2 的斜率 k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及三角
函数的诱导公式及特殊角正切值，还用到了平面几何知识，α2＝α1 ＋90°，然后再求 tan α2 即可．
►跟踪训练 1．求倾斜角为下列数值的直线的斜率． (1)α＝30°； (2)α＝45°； (3)α＝60°； (4)α＝0°. 解析：(1)k＝tan 30°＝ 33；(2)k＝tan 45°＝1； (3)k＝tan 60°＝ 3；(4)k＝tan 0°＝0.
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
绳子软的可 以卷缩起来，怎 么才能拽成一条 直线呢？拔河比 赛中，如果只有 一端固定，绳子 能否拽直？如果 两端都用力绳子 能否拽直？
直线的倾斜角 1.确定直线的条件
y l
(1)过一点能确定一条直线吗？ (2)这些直线有怎样的区别？ (3)怎样准确的表示它们的区别呢？
两直线斜率相等， 倾斜角也相等吗？
练习：已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1） ＝30； （2） ＝45； （3） ＝120； （4） ＝135．
直线上两点的斜率公式
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2, y2)(其中x1≠x2),求直线P1P2的斜率.
当α为锐角时
k>0
P2 P1Q,
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
=900时
y

y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
x2 x1
y1
P1(x1, y1)
o
x
k 不存在
直线的斜率公式: 经过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )的直线的斜率公式
k
y2 y1 x2 x1
或k
y1 x1
xy22（x1
(2)如图，当 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的斜率由 kAB 增大到 kAC， 所以直线 AD 的斜率的变化范围是71，53.
点评：(1)当已知两定点坐标，求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解， 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等．若相等，直线垂直x轴，斜率 不存在；若不等，再代入斜率公式求解．
(2)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位 置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按 顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．
►跟踪训练 2．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角． (1)(1，1)，(2，4)； (2)(－3，5)，(0，2)； (3)(4，4)，(4，5)； (4)(10，2)，(－10，2)．
x2）
题型一 求直线的倾斜角与斜率
例 1 直线 l1 的倾斜角 α1＝30°，直线 l1⊥l2，求 l1，l2 的斜率．
分析：对于直线 l1 的斜率，可通过计算 tan 30°直接获得，
而求直线 l2 的斜率则需要先求出倾斜角 α2.
解析：l1 的斜率 k1＝tan
α1＝tan 30°＝
3 3.
∵l2 的倾斜角 α2＝90°＋30°＝120°，
P
O
x
2.直线倾斜角的定义
直线与x轴相交时，直线向上的方向与x轴正方向所成的角
叫做这条直线的倾斜角．
3.直线倾斜角的范围 0≤ <180
y
y
P
00 900
O
x
O
P 900 1800
x
y P
90o
O
x
y
0o
P
O
x
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
直线的斜率 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
解析：(1)k＝42－ －11＝3＞0，则倾斜角是锐角； (2)k＝0－2（－－53）＝－1＜0，则倾斜角是钝角； (3)倾斜角是 90°(无斜率)； (4)k＝－21－0－210＝0，则倾斜角为 0°.
题型三 三点共线问题
例 3 求证：A(1，1)，B(4，7)，C(－1，－3)三点共线． 证明：由斜率公式知 kAB＝74－ －11＝2，kAC＝11＋ ＋31＝2. 则 kAB＝kAC，且直线 AB 与 AC 均过点 A，即直线 AB 与 AC 重 合，也即 A，B，C 三点共线． 点评：已知三点中，若任意两点连线的斜率相等，则此三点一定 共线；反之，当三点共线时，任意两点连线的斜率一定相等(除非都 不存在)．解这类问题时要先对斜率是否存在作出判断，有时要先进 行讨论，然后再下结论．
题型二 根据斜率公式求斜率
例 2 已知 A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)， (1)求直线 AB 和 AC 的斜率； (2)若点 D 在线段 BC 上(包括端点)移动时，求直线 AD 的斜率的变化范围． 解析：(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝－2－4－33＝71， 直线 AC 的斜率 kAC＝－0－2－33＝35， ∴直线 AB 的斜率为17，AC 的斜率为35.
∴kAB＝kBC，即3－2 a＝5a－2 3， 解得 a＝1. 此时这条直线的斜率 k＝kAB＝3－2 1＝1， 设这条直线倾斜角为 α， 当 0°≤α<180°时，只有 tan 45°＝1， ∴α＝45°， 即这条直线的倾斜角为 45°.
1.直线倾斜角的定义
直线与x轴相交时，直线向上的方向与x轴正方向所成的角叫做这条直
在RtP2 P1Q中
k tan tan P2P1Q
QP2 P1Q
k y2 y1 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
若交换两点的位置，结果会怎样？
当α为钝角时
y
k<0
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
Q(x2 , y1)
o x2 x1 x
180 ,
tan tan(180 ) tan
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1
P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
当直线与坐标轴平行或重合时,又怎样呢？
= 00时
y
P1 (x1 , y1 )
o
P2 ( x2 , y2 )
►跟踪训练 3．(巧解题)已知三点 A(0，a)，B(2，3)，C(4，5a)在一条直线上， 求 a 的值，并求这条直线的倾斜角． 解析：∵三点的横坐标不等， ∴三点所共直线的斜率存在． 由斜率公式可得 kAB＝32－ －0a＝3－2 a， kBC＝54a－－23＝5a－2 3. ∵三点在一条直线上，
坡度
升高量 前进量
升 高 量 α
前进量
=tan
直线斜率的定义:
倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条
直线的斜率，通常用k表示，即 k＝tan ( ≠ 900 )
当0 90时, k 0;
两直线倾斜角相等， 斜率也相等吗？
当倾斜角为900时，直线的斜率不存在.
当90 180时, k 0 .