《菱形》提高测试卷

菱形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A.AB=BC
B.AC=BC
C.∠B=60°
D.∠ACB=60°
2.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C到公路l1的距离为4千米,则村庄C到公路l2的距离是( )
A.3千米
B.4千米
C.5千米
D.6千米
3.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下: 甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF 是菱形.根据两人的作法可判断( )
A.甲正确,乙错误
B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
5.如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2= .
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为.
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图所示,平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,AB的中点,若∠A=60°,AB=2AD.求证:MN⊥BD.
8.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一
点,连接AE,BD且AE=AB.
(1)求证:∠ABE=∠EAD.
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
9.(10分)△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.
(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求证:△AEB≌△ADC.
②探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形?并说明理由.
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.
(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.由平移,得AC∥DE,AC=DE,∴四边形ACED是平行四边形; 又∵BC=CE,∴当AC=BC时,AC=CE,∴四边形ACED是菱形.
2.【解析】选B.如图,连接AC,作CF⊥l1,CE⊥l2;
∵AB=BC=CD=DA=5千米,
∴四边形ABCD是菱形,
∴∠CAE=∠CAF,
∴CE=CF=4千米.
3.【解析】选C.甲的作法正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN,
∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,
在△AOM和△CON中,
∴△AOM≌△CON(ASA),∴MO=NO,
∴四边形ANCM是平行四边形,
∵AC⊥MN,
∴四边形ANCM是菱形.
乙的作法正确;
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠6=∠7,
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴∠1=∠3,∠5=∠7,
∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.
∵AF∥BE,且AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形.
4.【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,已知AC⊥BD,所以只需添加条件使四边形ABCD为平行四边形即可,答案不唯一,如OA=OC等.
答案:OA=OC(答案不唯一)
5.【解析】连接EF,FG,GH,HE,∵点E,F,G,H分别是
AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC∥GH,EF=GH=AC=3,EH∥BD∥FG,EH=FG=BD=3,
所以四边形EFGH是菱形,∴EG⊥FH.
设EG,FH的交点为O.
∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36.
答案:36
6.【解析】∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形BGFD是平行四边形,
∵CF⊥BD,∴CF⊥AG,
又∵点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,
∴四边形BGFD是菱形,
设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,
在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2,
即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,
故四边形BDFG的周长=4GF=20.
答案:20
7.【证明】连接DN,BM.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB CD,
∵M,N分别是DC,AB的中点,
∴DM=DC,BN=AB=AN,
∴DM BN,
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵AB=2AD,AB=2AN,∴AD=AN.
∵∠A=60°,∴△ADN是等边三角形,
∴DN=AN=BN,∴平行四边形BMDN是菱形,
∴MN⊥BD.
8.【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD.
又∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB.
∴∠ABE=∠EAD.
(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,
∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
9.【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC.
②四边形BCGE是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.又∵EG∥BC,
∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)①②都成立.
(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形. 理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.
又∵CD=CB,∴BE=CB.
由②得四边形BCGE是平行四边形,
∴四边形BCGE是菱形.。