风筝飞行中的数学力学原理

风筝飞行中的数学力学原理
摘要
纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围。

五色罗裙风摆动，好将蝴蝶斗春归。

放风筝是一项古老而有意义的娱乐活动，它的飞行也带给了人们不少遐想，激发我们探索其中的数学力学原理。

风筝上升时一个动态过程我们首先研究了让风筝上升的力学原理，风筝在空中时，空气会分为上下流层，此时通过风筝下层的空气受风筝面的阻塞，空气的流速减低，气压升高，风筝就上扬，上层的空气流通舒畅，流速增强，致使气压降低，把风筝吸扬上去。

风筝的飞行是要受到风的推力，这就让我们想到了思考风力的特征。

通过空气动力学的研究，进行与飞机的类比，我们得到风筝所受风力的特征是受空气密度、升力系数、风筝的横截面积、风速的影响。

并通过拟合得到了升力曲线。

发现在随着迎角的增大，升力系数越大，但到达一定程度后，升力系数趋于常数。

之后，我们对风筝和风筝线分别进行了受力分析，研究其平衡状态时的受力，认为风筝在平衡时水平方向为匀加速运动，经过分析，得到了高度和风筝的受风角度之间的函数关系，更加受力图动态分析，发现存在最大高度，使得如果继续放线，而几乎不改变风筝的高度，只是在水平距离上越来越远，并且当受风角度趋于水平时风筝到达了最大高度，我们通过极限求解得到了最大高度h。

风筝的稳定不仅仅是质心运动的稳定，还有运动方向的稳定。

所以我们又考虑了力矩平衡，对风筝的稳定状态做进一步的分析。

发现风筝受力的作用点的变化规律为迎角增加时升力增量的作用点。

关键词：风筝飞行受力平衡升力系数参数检验
一、问题重述
风筝是我国最古老的一种民间艺术，是深受大家喜欢的娱乐活动之一。

在风筝展翅于蓝天之上时，激发我们思考风筝飞行的原理，探索其中的奥秘。

随着线放出的越来越长，线的自身重量的加大会使得风筝为了保持平衡而改变其受风角度，线的重量和受风角度有着明显的关系，这使得我们思考其关系并探索是否存在一个最大的高度〔或线长〕，使得如果继续放线，而几乎不改变风筝的高度，只是在水平距离上越来越远。

二、问题分析
风筝受到风的推动才能飞起来，而物体的运动改变我们主要想通过考察风筝其瞬时的平衡状态下的受力情况和力矩情况，寻找风筝的受风角度与线长的关系。

首先，我们研究风筝上升的原理，再假定每一个瞬时其竖直方向都处于平衡状态，通过对风筝和风筝线的受力分析，以及通过空气动力学理论得到风力的表达式，最终得到拉力与受风角度以及线与水平方向夹角的关系，根据线性模型处理参数，将该函数关系具体化，来推导是否存在一个最大的高度，使假设继续放线，风筝的高度几乎保持不变，而只是在水平方向上越走越远。

三、模型假设
1.假定风筝在各个时刻都在竖直方向近似处于平衡态。

2.假定风速恒定。

3.假定风筝的不同形状对该问题无较大影响。

4.风筝与线之间无摩擦力。

5.忽略风筝速度对空气压力的影响。

6.假定重力加速度不随高度变化。

四、符号说明
五、模型的建立与求解
风筝上升的原理
风筝有各种各样的美丽形状，经过研究发现，虽然风筝的形状对风筝的受力和力矩平衡有影响，但各类风筝的上升原理都是不变的，我们以平板状的方形风筝为例进行研究。

风筝升空，主要是靠风的推力升扬于空中。

风筝的重量会使它往地面降落，之所以可以在空中漂浮飞翔，是受空气的力量支撑向上，这种力量称为扬力。

风筝在空中时，空气会分为上下流层，此时通过风筝下层的空气受风筝面的阻塞，空气的流速减低，气压升高，风筝就上扬，上层的空气流通舒畅，流速增强，致使气压降低，把风筝吸扬上去，扬力即是由这种气压之差才产生的。

风筝除受空气的扬力之外，同时亦受到空气往下压的压力，此压力称之为抗力，假设抗力小于扬力时，风筝才能飞翔于空中所以风筝提线的角度假设放置下方时，抗力增强，风筝只会往远处飞扬，假设放置上方时，扬力增强，抗力减少，风筝才会往高处飘翔。

图2是平板状的方形风筝在空中稳定时的受力示意图。

风吹在风筝外表上，产生一个垂直于风筝面的力F
，这个力可以分解为水平方向的分力F2和竖直
空气
方向的分力F1。

F2的作用是使风筝远离，F1即为扬力，同理，风筝线的拉力T
也可以分解为水平和竖直两个分力F
拉1、F
拉2。

G为风筝的重力。

当风速较大时，
力F较大，竖直方向满足F1＞F
拉2
+G风筝上升。

此时应该将风筝线放出，使水
平方向满足F2＞T1，风筝远离。

风筝上升到一定高度和距离，风筝线重力大大增
加，使得拉力F
拉
大大增加，而且风筝和竖直方向的角度减小，使得分力T2大大
增加，当到达F1-F
拉2
-G＝0时风筝就不再上升，而是稳定在空中。

风筝刚放飞时，地面附近风速常常较小，往往需要人为助跑来加大空气动力F以满足上升的条件，这里应用了相对运动的原理。

5.2风筝平衡的原理
5.受力平衡的分析
当风筝飞行一段时间后，随着风力影响下风筝飞行角度的变化，风筝的风行有逐渐趋向平衡的趋势。

下面想就这一趋势进行数学力学原理上的研究。

首先我们对风筝进行受力分析，在风筝平衡时，其在竖直方向的加速度为0，根据牛顿第二定律：
{F
空气
cosθ=F
拉
sinα+m
风筝
g
F
空气
sinθ−F
拉
cosα=m
风筝
a1
F
拉
G
风筝
F
空气
F 人
G 绳F
拉
〔1〕
图1风筝线的受力
图2风筝的受力
对风筝线进行受力分析{F
拉
cosα−F
人
cosα=m
绳
a2
F
拉
sinα−F
人
sinα=m
绳
g
因为风筝与风筝线在本过程中为整体的，他们的加速度相等，所以
a1=a2
将〔1〕〔2〕方程组解出得到tanα=F
拉
sinα−m
绳
g
F
拉
cosα−m
绳
a
将a代人后，可得tanα=
m
风筝
F
拉
sinα−m
风筝
m
绳
g
（m
绳
+m
风筝
）F
拉
cosα−m
绳
F
空
sinθ
对于空气对风筝的力，我们运用空气动力学的原理进行简单讨论，我们可以认为在空中飞行的风筝是不动的，而空气以同样的速度流过风筝。

图3
我们把风筝飞行速度在参考平面上的投影与水平线之间的夹角，称为迎角，
用β表示。

类比于飞机的机翼进行分析，由上图可知，机翼的压强分布与迎角有
关。

在迎角为零时，上下外表虽然都受到吸力，但总的空气动力合力F
空气
并不等
于零。

随着迎角的增加，上外表吸力逐渐变大，下外表由吸力变为压力，于是空
气动力合力F
空气
迅速上升，与此同时，翼型上外表后缘的涡流区也逐渐扩大。

在
一定迎角范围内，F
空气
是随着迎角β的增加而上升的。

但当β大到某一程度，再
增加迎角，升力不但不增加反而迅速下降，这种现象我们叫做“失速”。

失速对
应的迎角就叫做“临界迎角”或“失速迎角”
将其类比于风筝，我们可以认为由于F
空气
随β的变化而变化，它在垂直于迎
面气流方向上的分力F
升
也随β的变化而
F 升=1
2
G Lρ0v2s
升力系数C L随迎角变化的曲线称为升力曲线〔图〕。

将其带入〔3〕式，得到风筝受风角度与线的长度的初步函数关系tanα=
m
风筝F
拉
sinα−m
风筝
m
绳
g
（m
绳+m
风筝
）F
拉
cosα−m
绳
1
2
G Lρv2sinθ
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔6〕
图 4升力系数曲线
图 5升力系数曲线
tanα=F 空气cosθ−m 风筝g−m 线g
F 空气sinθ−m 线a−m 风筝a 整理〔4〕式，将 m 线 移到一边，得到：
m 线=
tanαF 空气sinθ−tanα∙m 风筝a −F 空气cosθatanα−g
其中，m 线= ρsl ，ρ为风筝线的密度，s 为线的横截面积，l 为线的长度。

所以，又得到：
l = tanαF 空气sinθ−tanα∙m 风筝a−F 空气cosθ
ρs （atanα−g ） 〔7〕
5.参数处理的用线性模型
我们进行微元，假设每一Δt 时间内的θ与α是恒定的，成线性关系，水平加速度a 随时间不变的，
即α+θ=γ
a =a 0
〔5〕
〔6〕
可以将〔6〕式换成如下形式：l =m ρs
m 绳=tanαF 空气sinθ−tanα∙m 风筝a−F 空气cosθatanα−g α=β−θ
m 线=tan (γ−θ)F 空气sinθ−tan (γ−θ)∙m 风筝a−F 空气cosθ
atan (γ−θ)−g
ρsl =ρs ℎsin (γ−θ)
h =
sin (γ−θ)ρs ∙m 线 将h 和a 0代入，可得到，
ℎ=sin (γ−θ)ρs ∙tan (γ−θ)F 空气sinθ−tan (γ−θ)∙m 风筝a 0−F 空气cosθa 0tan (γ−θ)−g
当θ趋于0时，h 可能到达一个最大值，使得风筝处于一个几乎平衡的状态。

ℎmax =lim θ→0sin (γ−θ)ρs ∙tan (γ−θ)F 空气sinθ−tan (γ−θ)∙m 风筝a 0−F 空气cosθa 0tan (γ−θ)−g =sinγ(−tanβm 风筝a 0−F 空气+m 风筝g ）
ρs(a 0tanβ−g)
假设有相应的数据，我们可以通过检验模拟出参数，并利用另一部分数据进行灵敏性分析
5.力矩平衡的分析
还有利用类似于飞机垂直尾翼的原理，增加与风筝平面垂直方向的投影面积的方法，其做法一般都采取使风筝面翘起成孤形，如图6所示，S 1为风筝有效的迎风面积，S 2为等效的垂直尾翼面积。

当风筝面以拉线方向为转动轴顺时针或逆时针方向转动或摇摆时，两侧空气将通过等效垂直尾翼面积产生对摇摆运动的阻力，同时迎面气流也将产生对垂直尾翼面积的压力，前者使摇摆减缓，后者产生回复力矩。

当风筝在放飞时受到风力后风筝面会弯曲成弧形或用线将风筝面事先拉成弧形，都是利用上述原理使风图 6风筝受力示意图
〔7〕
〔8〕 〔9〕 〔10〕〕 〔11〕 〔12〕
〔13〕
筝姿态稳定。

图 7
当气流流过风筝时，可以把作用在风筝上的空气动力F 空气分解为垂直其的法向力F 空气1和平行于翼弦的切向力F 空气2 (图)。

我们规定使翼型抬头的力矩为正，则空气动力对F 点的力矩可写为
M yP ＝－F 空气1(x P −x F )≈－F 空气 (x P −x F )
改用力矩系数的形式表示为
c m =M y p 12ρv 2sc =F 空气12ρv 2s (x P −x F c )=−c L (x P −x F ) 式中P x 和F x 分别是压力中心和任意点F 到翼型前缘距离与弦长比的百分数不但影响F 空气的大小，同时还改变其作用点(压力中心)。

为此，变换不同的迎角作实验，求出各个迎角下对应的升力系数C L 和力矩系数C m ，画出C m 与C L 曲线，如图7所示。

由该图可见，当C L 不太大时曲线近似呈直线，不同的F 可得到不同的斜率。

因此总能找到一点，其C m 几乎不随C L 而变化，这样的点在空气动力学中称之为焦点(或空气动力中心)。

由于升力增加时，升力对焦点的力矩不变，因此，焦点实质上是迎角增加时升力增量的作用点。

)(0F P L m x x C C --=
L m F P C C x x /0-=
可见压力中心并非焦点，它是随C L 的增大而前移，并逐渐接近焦点。

六、模型的评价与推广
优点 1.我们运用空气动力学，考虑了风筝和飞机模型之间的联系，使空气对风筝的影响更为精确，模型应用更为广泛。

影响，和力矩对风筝转动平衡的影响，使飞机平衡的分析有多个维度。

缺点：很多参数缺乏数据支撑，无法进行准确预测。

运动的形式简单，只考〔14〕 〔15〕
〔16〕 〔17〕
虑了匀变速运动。

：鸟的飞翔，低速飞机的飞行，航天航空探测等
参考文献
[1] 苏金明，王永利，MATLAB7.0使用指南，北京：电子工业出版社，2004。

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[6] 章绍辉，数学建模，科学出版社，2010。