概率论与数理统计3-2

2
2
1 p 0 (1 p ) p pq
2
2
2
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
n k nk P { X k } p (1 p ) , ( k 0 ,1 , 2 , , n ), k 则有 0 p 1.
证明
D ( X Y ) E {[( X Y ) E ( X Y )] }
2
E {[ X E ( X )] [Y E ( Y )]}
2
2
E [ X E ( X )] E [Y E (Y )] 2 E {[ X E ( X )][ Y E (Y )]}
( x
t,得
σ
2
μ)
2
1 2σ

( x μ) 2σ
2
2
e
dx
令
x μ σ
D(X )
2

t e
2

t
2
2
dt
t
2
2 t 2 σ te 2 2





e
2
dt
0
σ
2
2
σ 2 σ .
2 2
所以
E(X )
x
1 2 1


1 2σ( x来自 μ) 2σ22
e
dx

( μ σt )e
t
2

t
2
2
dt
t
2
μ
μ. μ
2


e
2
dt
σ
2


te
2
dt
D(X )



( x μ) f ( x)d x
2

第3.2节 随机变量的方差和矩
一、随机变量方差的定义及性质 二、常见概率分布的方差
三、例题讲解
四、矩的概念 五、小结
一、随机变量方差的定义及性质
1. 方差的定义 (定义3.3)
设 X 是一个随机变量
2
, 若 E {[ X E ( X )] } 存在 ,
2
则称 E {[ X E ( X ) ] } 为 X 的方差 , 记为 D ( X ) 或
k0


k ( k 1)n! k ! ( n k )!
p (1 p )
k
n k
np
k0
n( n 1) p np
2
( n k )! ( k 2 )!
k2
n
( n 2 )!
p
k2
(1 p )
( n 2 ) ( k 2 )
n ( n 1 ) p [ p ( 1 p )]
2
n2
np
( n n ) p np .
2 2
D ( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2
2
( n n ) p np ( np )
2 2
2
np ( 1 p ). np(1 p )
3. 泊松分布
设 X ~ P ( ), 且分布律为
P{ X k}
D ( CX ) C D ( X ).
2
证明 D (CX ) E {[ CX E ( CX )] 2 }
C E {[ X E ( X )] }
2 2
C D ( X ).
2
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D ( X Y ) D ( X ) D ( Y ).
连续型随机变量的方差
D( X )


[ x E ( X )] p( x ) d x ,
2
其中 p ( x ) 为 X 的概率密度 .
(2) 利用公式计算
D( X ) E ( X ) [ E ( X )] .
2 2
证明
D ( X ) E {[ X E ( X )] }
2
E{X
2


2

k ( k 1)


k
e



k0
k!
e
( k 2 )!
k2

k2
e
2
e

.
2
所以 D ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )] 2 2 2 .
泊松分布的期望和方差 都等于参数 .
则有
E(X )


xp ( x ) d x
0

x e
x
d x
1/.
D ( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2
2

0

x e
2
x
d x 1/
2
2/ 1/
2
2

1

2
指数分布的期望和方差 分别为1 / 和 1 / .
成立,由切比谢夫不等式得
P X 0 . 5 n 0 . 15 n 1 只要 1 1 0 .9 n 0 . 95 , DX ( 0 . 15 n )
2
1
0 . 25 n ( 0 . 15 n )
2
n 222 . 2
故至少需要做223次独立试验.
四、矩的概念
设 X 是随机变量 , 若 E ( X ), 定义3.4 记为
2
2 XE ( X ) [ E ( X )] }
2 2
E ( X ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2
E ( X ) [ E ( X )]
2
2
E ( X ) E ( X ).
2 2
4. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D ( C ) 0 . 证明 D ( C ) E ( C 2 ) [ E ( C )] 2 C 2 C 2 0 . (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
D(X)=10000.50.5=250, 于是由切比谢夫
不等式得
P 400 X 600 P 400 500 X 500 600 500 P | X E ( X ) | 100 1 D(X ) 100
2
1
250 100
2
0 . 975
D ( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2 2

a
b
a b x dx ba 2
2
1
2

(b a ) a
12 12
2 2
.
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布 x 0, x 0. , 其概率密度为 其中 0 . e x , p( x ) 0,
2 2
证明
对连续型随机变量的情况来证明.
设 X 的概率密度为 p ( x ), 则有
P{ X μ ε}

x μ ε
2
p( x ) d x
x μ ε
1 ε
2
x μ ε
2
p( x ) d x



( x μ ) p( x ) d x
2
1 ε
2
σ .
2
得
P{ X μ ε }

k
e

,
k 0 ,1 , 2 , ,
0.
k!
则有
E(X )
k k! e
k 0



k

e

( k 1 )!
k 1


k 1
e
e

.
E ( X ) E [ X ( X 1 ) X ] E [ X ( X 1 )] E ( X )
D ( X ) D ( Y ).
2
推广 若
X 1 , X 2 , , X n 相互独立 , 则有
D(a1 X1 a2 X 2 an X n ) a1 D( X1 ) a2 D( X 2 ) an D( X n ).
2 2 2
( 4 ) D ( X ) 0 的充要条件是 C ,即 P { X C } 1.
.
例3.15 在每次试验中,事件A发生的概率为0.5. (1)利用切比谢夫不等式估计在1000次独立试验中, 事件A发生的次数在400 ～ 500之间的概率; (2)要使A出现的频率在0.35 ～ 0.65之间的概率不小
于0.95,至少需要多少次重复试验?
解: 设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数, 则 X ～ B(1000,0.5), E(X)=10000.5=500,
k
k 1,2 ,
存在 , 称它为 X 的 k 阶原点矩 , 简称 k 阶矩 .
(2)设需要做n次独立试验,则X ～ B(n,0.5),求n使得
X P 0 . 35 0 . 65 P 0 . 35 n 0 . 5 n X 0 . 5 n 0 . 65 n 0 . 5 n n P X 0 . 5 n 0 . 15 n 0 . 95
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ .
2