2016届江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习检测题等差数列

江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 等差数列检测题
一．知识梳理
1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 1， n ＝1，
S n －S n －1， n ≥2.
2． 等差数列和等比数列
1． (2013·江西改编)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．
2． (2013·课标全国Ⅱ改编)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1
＝________.
3． 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4＋a k ＝0，则k ＝________.
4． 已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝
________.
5． 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P(1，an)，Q(2 011，
a2 011)，则OP →·OQ →
＝________. 三．典型例题
考点一 与等差数列有关的问题
例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．
(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值； (2)若a 1＝－46，记b n ＝
S n －a n
n
，求b n 的最小值． 变式(1)(2012·浙江改编)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是________．(填序号) ①若d <0，则数列{S n }有最大项； ②若数列{S n }有最大项，则d <0；
③若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *
，均有S n >0； ④若对任意n ∈N *
，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列．
(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.
考点二 与等比数列有关的问题
例 2 (1)(2012·课标全国改编)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝
________.
(2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.
变式(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．
考点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.
(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；
(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *
，使对任意n ∈N *
，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．
变式 已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n
(n ∈N *
)，数列{b n }满足b n ＝3－n
a n . (1)求证：数列{
b n }是等差数列；
(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <1
4
的所有正整数n 的值．
四．课后练习 一、填空题
1． 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9
a 6＋a 7＝________.
2． 已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4
n
的最
小值为________．
3． 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8
等于________．
4． 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6
a 2a 6＋a 4a 5＝________.
5． 在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于________． 6． 已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12
(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *
)，记S n 为数列{a n }的前
n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.
二、解答题
7．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．
(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；
(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． 8．已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *
)，数列{b n }满足b 1＝12
，3b n
－b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式． 9．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1
a m
≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说
明理由．
10． 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：
a 1＝3，
b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .
(1)求a n 与b n ；
(2)设c n ＝3b n －λ·2a n
3
，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．。