高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评13 Word版含答案

高中数学必修五《数列》单元检测（含答案解析）
一、选择题
1．2＋3与2－3的等比中项是( )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．2
【解析】 2＋3与2－3的等比中项为G ＝±(2＋3)(2－3)＝±1，故选
C.
【答案】 C
2．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 015，则公比q 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
【解析】 因为a 2 016＝8a 2 015，
所以a 1q 2 015＝8a 1·q 2 014，
解得q ＝8.
【答案】 D
3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的
( )
A ．第2项
B ．第4项
C ．第6项
D ．第8项 【解析】 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，
可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4，
∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，由－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1＝－1312，得n ＝4.
【答案】 B
4．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是(b ，c )，则ad 等于( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－2
【解析】 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，
得b ＝1，c ＝2.
又a ，b ，c ，d 成等比数列，即a,1,2，d 成等比数列，
所以d ＝4，a ＝12，故ad ＝4×12＝2.
【答案】 B 5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
【解析】 ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21，
∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)．
∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝ .
【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知条件得a 25＝4·a 25q 4.
∴q 4＝14，q 2＝12，
∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.
【答案】 1
7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为 ．
【解析】 ∵x 2＝24，∴x ＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭
⎪⎫124. ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216
＝2. 【答案】 2
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是 ．
【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均
增长率只需利用a 12a 1
＝m ，所以月平均增长率为11m －1. 【答案】
11
m －1
三、解答题 9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比.
【解】 设该数列的公比为q .
由已知，得⎩⎨⎧ a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，
所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩
⎨⎧ a 1＝1，q ＝3.(q ＝1舍去) 故首项a 1＝1，公比q ＝3.
10．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值．
【解】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎨⎧ a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，
∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，
∴⎩⎨⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎨⎧
a ＝4，
b ＝1，
∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. .[能力提升]
1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9
等于( ) A.2＋1
B ．3＋2 2
C ．3－2 2
D ．22－3
【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，
由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，
则2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2， 所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .
由于a 1≠0，
所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1±2.
又等比数列{a n }中各项都是正数，
所以q >0，所以q ＝1＋ 2.
所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1(1＋2)2
＝3－2 2. 【答案】 3－2 2
2．已知等比数列{a n }满足a 1＝14
，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2
B ．1 C.12 D ．18
【解析】 法一 ∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，
∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1
＝214
＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.
法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，
将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，
解得q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.
【答案】 C
3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝ ，d ＝ .
【解析】 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，
∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①
又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②
由①②解得a 1＝23，d ＝－1.
【答案】 23 －1
4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.
(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；
(2)求a n 的表达式.
【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，故a 1＋1≠0，
由上式易知a n ＋1≠0，∴
a n ＋1＋1a n ＋1
＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列．
(2)由(1)可知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1，即a n ＝2n －1.。