人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元达标测试综合卷检测

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元达标测试综合卷检测
一、选择题
1．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．结论：①EG⊥FH；
②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG
1
2
=BC；⑤四边形EFGH的周长等于
2AB．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝
45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤
2
2
PD＝EC．其中有正确有
()个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图所示，等边三角形ABC沿射线BC向右平移到DCE
∆的位置，连接AD、BD，则下列结论：（1）AD BC
=（2）BD与AC互相平分（3）四边形ACED是菱形（4）BD DE
⊥，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G，点H在AD上，且EH∥AF.若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH=222，其中正确的有（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( )
A ．A
B B ．CE
C ．AC
D ．AF
6．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，E 为CD 上一动点，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH ⊥AE 于F ，过H 作HG ⊥BD 于 G ．则下列结论：①AF ＝FH ；②∠HAE ＝45°；③BD ＝2FG ；④△CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,E F 分别在边,CD DA 上
（CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒
∠=的延长线交于点 ,
,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：
①OCE ODF ∆∆≌； ②OG OH =； ③210GH =．
其中，正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E 且AB AE =，延长
AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF .下列结论：①ABC EAD △≌△；
②ABE △是等边三角形；③BF AD =；④BEF ABC S S =△△；⑤CEF ABE S S =△△；其中正确的有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
10．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：（1）∠DCF=
1
2
∠BCD ；（2）EF=CF ；（3）S △BEC = 2S △CEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ；其中正确的结论是（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（2）（4）
C ．（2）（3）（4）
D ．（1）（3）（4）
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．在平行四边形ABCD 中，30,3,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．
13．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的
长是__________．
14．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作
CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．
15．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，
//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，
11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则
2020C =______．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+1
2
∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S
=2
CEF
S
； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结
论的字号都填在横线上)．
17．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．
OABC 的顶点A ，C
分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．
18．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______
19．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的
点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝
3
2
S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令
AF
n BC
=，EC
m BC
=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．
（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．
22．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：AOE COF ∆≅∆；
（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．
23．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝
13
S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作
//,//
CF BD DF AC，连接BF交AC于点E．
≌；
(1)求证: FCE BOE
∠等于多少度时，四边形OCFD为菱形?请说明理由．
(2)当ADC
25．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．
（1）求证：CG平分∠DCB；
（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．
26．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
=；
（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM
（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.
27．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE ＝CE ；
（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．
28．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ． （1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=
BC ，求OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．
29．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC
AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .
（1）求证：EF DA ⊥.
（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.
30．在正方形中，连接，为射线
上的一个动点（与点不重合），连接，
的垂直平分线交线段于点，连接
，
.
提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点的两个特殊位置：
①当点与点重合时，如图1所示，____________
②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：
__________；（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．
【详解】
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=1
2
CD，FG=
1
2
AB，GH=
1
2
CD，HE=
1
2
AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，故②错误，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG；故①③正确，
∴四边形EFGH的周长= EF=FG=GH=HE =2AB，故⑤正确，
没有条件可证明EG=1
2
BC，故④错误，
∴正确的结论有：①③⑤，共3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=2EC，得出⑤正确，即可得出结论．
【详解】
过P作PG⊥AB于点G，如图所示：
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理：PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
在△AGP和△FPE中，
90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
︒＝＝＝＝，
∴△AGP ≌△FPE （SAS ），
∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，
∴∠PFE=∠BAP ，④正确；
延长AP 到EF 上于一点H ，
∴∠PAG=∠PFH ，
∵∠APG=∠FPH ，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
∴AP ⊥EF ，②正确，
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，
∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，
除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．
∵GF ∥BC ，
∴∠DPF=∠DBC ，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC ，
∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，
∴
EC ，
PD=EC ，⑤正确． ∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．
故选D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
3．D
解析：D
【分析】
先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD 是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD 是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC ⊥BD ，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.
【详解】
解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD
∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AD=AC=BC，故①正确；
由①可得AD=BC
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③正确
∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC
∴.四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC//DE
∴∠BDE=∠COD=90°
∴BD⊥DE，故④正确
综上可得①②③④正确，共4个.
故选：D
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直.
4．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.
【详解】
在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOG=∠BOE，AC⊥BD
∵AF⊥BE，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠OAG=∠OBE，∴△OAG≌△OBE，故OE=OG，①正确；
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB，
∵EH∥AF∴HE⊥BE，
∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE
又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH≌△CBE，
∴EH=BE，②正确；
∵△AEH≌△CBE,AC=22
+=
2222
∴AH=CE=AC-AE=22-2，③正确.
故选D
【点睛】
此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
+的最小值连接DP，当点D，P，E在同一直线上时，由△PCF≌△PCB可得DP=BP,BP EP
+最小值等于线段AF的长.
为DE长，依据△ADF≌△DCE，AF=DE,即可得到BP EP
【详解】
解：如图，连接DP，
∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°
∴△PCF≌△PCB
∴BP=DP
∴BP+PE =DP+PE
+的最小值为DE长，
∴当点D，P，E在同一直线上时，BP EP
又∵AB=CD，∠ADF=∠ECD，DF=EC，
∴△ADF≌△DCE
∴AF=DE，
+最小值等于线段AF的长，
∴BP EP
故选：D．
【点睛】
本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据
△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；
④作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE=IM，故△CEH的周长为边AM的长．
【详解】
①连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
③连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG ．
④连接EM ，延长AD 至点M ，使AD=DM ，过点C 作CI ∥HL ，则：LI=HC ，
∵HL ⊥AE ，CI ∥HL ，
∴AE ⊥CI ，
∴∠DIC+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠DIC=∠AED ，
∵ED ⊥AM ，AD=DM ，
∴EA=EM ，
∴∠AED=∠MED ，
∴∠DIC=∠DEM ，
∴∠CIM=∠CEM ，
∵CM=MC ，∠ECM=∠CMI=45°，
∴△MEC ≌△CIM ，可得：CE=IM ，
同理，可得：AL=HE ，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH 的周长为8，为定值．
故①②③④结论都正确．
故选D ．
【点睛】
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
7．C
解析：C
【分析】
①直接利用角边角判定定理判断即可；
②证明ODH OCG ∆≅∆即可；
③在Rt CGH ∆中求解即可判断此答案错误．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 是正方形，,AC BD 是对角线，
∴OD OC =，45ODF OCE ∠=∠=︒，90DOC ∠=︒，
∵90EOF ∠=︒，
∴DOC DOE EOF DOE ∠-∠=∠-∠，即：EOC DOF ∠=∠，
在ODF ∆和OCE ∆中，
∵ODF OCE OD OC DOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ODF OCE ∆≅∆，
故①正确；
②∵45ODF OCE ∠=∠=︒，
∴90=90=135ODF OCE ∠+︒∠+︒︒，即：ODH OCG ∠=∠，
在ODH ∆和OCG ∆中，
∵GOC DOH OD OC ODH OCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ODH OCG ∆≅∆，
∴OH OG =，
故②正确；
③过点O 作OM CD ⊥于点M ，
∵OM CD ⊥，
∴在等腰Rt OCD ∆中，118422
OM CD =
=⨯=, 在Rt ECG ∆和Rt EMO ∆中 ∵OME GCE OEM GEC OE GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴4CG OM ==，
由②中知：ODH OCG ∆≅∆，
∴DH CG =，
∴=4DH CG =，
∴8412CH CD DH =+=+=，
∴在Rt CGH ∆中，由勾股定理得：
GH =，
故③错误；
综上所述：只有两个正确，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分每组对角．
8．D
解析：D
【分析】
①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，
90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为2346；故③正确；
④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPB
POA ，等量代换得到OPA
POA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．
【详解】
解：①四边形OACB 是矩形，
90OBC ∴∠=︒，
将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，
45BOP ，
45DOP BOP ，
90BOD =∴∠︒，
90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，
OB OD =，
∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，
点(10,0)A ，点(0,6)B ，
10OA ∴=，6OB =，
6OD OB
，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ， OAD ∴∆的面积为
113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，
则OD CD OC ，
即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，
6AC
OB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，
2346CD OC OD ，
即CD 的最小值为2346；故③正确；
④
⊥OD AD ，
90ADO ∴∠=︒， 90ODP OBP ，
180ADP ，
P ∴，D ，A 三点共线，
//OA CB ，
OPB
POA ， OPB
OPD ， OPA
POA ， 10AP OA ，
6AC =， 22
1068CP ， 1082BP BC CP ，故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
解析：B
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE =∠BEA ，得出AB =BE =AE ，得出②正确；由△ABE 是等边三角形得出∠ABE =∠EAD =60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，得出①正确；由S △AEC =S △DEC ，S △ABE =S △CEF 得出⑤正确；③和④不正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD =BC ，
∴∠EAD =∠AEB ，
又∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE =∠DAE ，
∴∠BAE =∠BEA ，
∴AB =BE ，
∵AB =AE ，
∴△ABE 是等边三角形；②正确；
∴∠ABE =∠EAD =60°，
在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；
∵△FCD 与△ABC 等底（AB =CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），
∴S △FCD =S △ABC ，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高，
∴S △AEC =S △DEC ，
∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确．
若AD 与BF 相等，则BF =BC ，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
若S △BEF =S △ACD ；则S △BEF =S △ABC ，
则AB =BF ，
∴BF =BE ，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
正确的有①②⑤．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF ≌△DMF （ASA ），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
（1）∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠
DCF=12
∠BCD ，故正确； （2）延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DFM 中，
A FDM AF DF
AFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），
∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴EF=CF ，故正确；
（3）∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
（4）设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故正确，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
=-=-=,
BE AB AE543
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为AE=4，AB=5，AC=25 在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ，
在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．43或23
【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ，
在Rt ADE △中，
30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332
AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，
22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，
如图1，
4AB ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，
如图2，
2AB =，
∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ===，
如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，
在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-， 30A ∠=︒，3BE x =
， 在Rt BDE △中，
2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），
1BE ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，
如图4，
当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，
故答案为：323
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
1321
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，
ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，
60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，
//AD BE ∴，
6AC =，
624AD AB ∴==-=，
点M ，N 分别是AD ，CE 的中点， 112,122AM AD EN CE ∴=
===， AM BE ∴=，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，
在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，
2212,232
EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，
则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =
+=+=，
故答案为：21．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
14．102-
【分析】
连结AC ，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，则MB ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
连接AC ，交EF 于O ，
∵AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，
∵AE ＝CF ，
∴△AEO ≌△CFO （ASA ），
∴OA ＝OC ，
∴O 是正方形的中心，
∵AB ＝BC ＝4，
∴AC ＝OC ＝，
取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，
∵MC ＝12
OC ， ∴MH ＝CH ＝1，
∴BH ＝4−1＝3，
由勾股定理可得MB
在Rt △GOC 中，M 是OC 的中点，则MG ＝
12OC
∵BG≥BM−MG ，
当B ，M ，G 三点共线时，BG ，
．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E ，F 运动到AD ，BC 的中点时，MG 最小是解决本题的关键．
15．20181
2
【分析】
根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．
【详解】
∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC
∴DE 、EF 是△ABC 的中位线
∵等边△ABC 的边长为1
∴AD=DE=EF=AF =
12 则1C =1422
⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12
发现规律：规律为依次缩小为原来的
12 ∴2020C =20181
2
故答案为：201812．
【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．
16．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得
出CF=
12
EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确； 证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】 (1)∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD=AB ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=
12∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴CF=
12
EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ， ∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=12
∠BCD=50°， ∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF ≌△DMF 是解题关键．
17．5
【分析】
过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则
OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与
OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，
∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴
OB=22OE BE +．
由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 18．12013
【分析】
设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO 和OH 长，若MN 最小，则MO 最小即可，而O 点到AC 的最短距离为OH 长，所以MN 最小值是2OH ．
【详解】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，
∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO2222
135
AC CO
-=-12．
利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13
．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13
．
所以此时MN最小值为2OH＝120 13
．
故答案为：120 13
．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
19．①②④．
【分析】
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到
∠EBG=1
2
∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则
DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用
相似比得到
4
3
DE AF
DF AB
==，而
6
2
3
AB
AG
==，所以
AB DE
AG DF
≠，所以△DEF与△ABG不相
似，于是可对③进行判断.
【详解】
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确； 在Rt △ABF 中，AF ＝22BF AB -＝22106-＝8，
∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，
设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，
在Rt △GFH 中，
∵GH 2+HF 2＝GF 2，
∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，
∴GF ＝5，
∴AG+DF ＝FG ＝5，所以④正确；
∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，
∴∠BFE ＝∠C ＝90°，
∴∠EFD +∠AFB ＝90°，
而∠AFB +∠ABF ＝90°，
∴∠ABF ＝∠EFD ，
∴△ABF ∽△DFE ，
∴
AB DF ＝AF DE ， ∴
DE DF ＝AF AB ＝86＝43， 而
AB AG ＝63＝2， ∴AB AG ≠DE DF
， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误． ∵S △ABG ＝
12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32
S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
20．7
【分析】
①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=
+四边形即可得出答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形
//,AD BC AD BC ∴=
,,AF EC n m BC BC
m n === AF EC ∴=
AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =
∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形
//,//AE CF BF DE ∴
∴四边形EGFH 是平行四边形
综上，图中共有4个平行四边形
如图，连接EF
1,,AF EC n m BC B n C
m ==+= AF EC BC AD ∴+==
AF DF AD +=
EC DF ∴=
AF BE ∴=
∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴=
= 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=
+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+
12874
=⨯= 故答案为：4；7．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．三、解答题
21．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2326
+
【分析】
（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在
Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，3，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（3x）2，解得
62
-
，推出62
+
BG=BN÷cos30°即可解决问题.
【详解】
解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，3x，
在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，
∴1=x 2+（2x+3x ）2
，
解得x=
62-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=
3266+．
【点睛】
本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．
22．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；
（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；
（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.
【详解】
（1）四边形ABCD 为平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，
12OE OB ∴=，12
OF OD =， 则OE OF =，
在AOE ∆与COF ∆中
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AOE COF ∴∆≅∆；
（2）AOE COF ∆≅∆，
EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，。