最新版河北省永年县高一数学12月月考试题

永年二中高一数学第二次月考数学试题
一、选择题
1．空间四点最多可确定平面的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设集合2{|1}P x x ==，那么集合P 的真子集个数是 （ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
3．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A ．α内的所有直线都与直线a 异面
B ．α内不存在与a 平行的直线
C ．α内的直线都与a 相交
D ．直线a 与平面α有公共点 4．函数1()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）
A ．（5，1）
B ．（1，5）
C ．（1，4）
D ．（4，1）
5．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与 BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是( )
A ．梯形
B ．空间四边形
C ．正方形
D ．有一内角为60
o
的菱形
6．下列函数中，在()∞+,0上为减函数的是
A. ()x
x f 3=
B. ()x x f 2
1log =
C. ()x x f =
D.
()
x
x f 1
-
= 7．如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构
．则该组合体的表面积等于( )
A ．π15
B ．π18
C ．π21
D ．π24 8．如图,正方体ABCD -A
1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1ACC 1所成的角为 ( )
A. 90
B. 30
C. 60
D.45
9．已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则))100
1
(
(f f =( ) A.
2lg 1 2
lg 1.-B C.2lg D.-2lg 10．正方体内切球与外接球体积之比为 ( )
A.1
∶
B.1∶3
C.1∶3
D.1∶9
11．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM 与ED 平行;②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成60°角;④DM 与BN 是异面直线,以上四个结论中,正确的是 ( )
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
12．如图,正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G,已知△A ′DE 是△ADE 绕边DE 旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线BC ∥平面A ′DE;②恒有直线DE ⊥平面A ′FG,③恒有平面A ′FG ⊥平面A ′DE.其中正确命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题
13．已知[]log (0,1)2,4x
a y a a x =>≠∈且在上的最大值比最小值多1，则a ＝ ．
14．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是 cm 3
．
15．已知函数32,1()log ,1
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(3)(0)f f += ．
16．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：（1）若γβγα⊥⊥,，则βα//；
（2）若m ,n 在平面α内，ββ//,//n m ，则βα//； （3）若βα//，l 在平面α内，则β//l ；
（4）若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ//l ，则n m //． 其中正确的命题是 ．（填序号） 三、解答题
17．已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}
R a a x a x C ∈+≤≤=,12|2。

（Ⅰ）求B A ,B A C R ⋂)(；（Ⅱ）若()B A C ⊆,求实数a 的取值范围.
2 4 2
3 4
2 2
4 正视图
俯视图
侧视图 (14题)
18．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD 折起，使∠BDC=90°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．
19．设a＞0，f(x)＝3
3
x
x
a
a
＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；
20．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O,E分别为B1D,AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1.
(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.
21．如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，
（1）求证：BE ⊥面ABC ；
（2）设ABC ∆为等边三角形，求直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值．
22．在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，
PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，42==AB PA ．
（1）求证：//EM PAB 平面；
（2）求证：AE PC ⊥；（3）求三棱锥ACE P -的体积V .
1．空间四点最多可确定平面的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
解析：当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，此时空间四点确定的平面个数最多，如三棱锥的顶点和底面上的顶点，这四个点确定4个平面，故选D ． 2．设集合2{|1}P x x ==，那么集合P 的真子集个数是 （ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
解析：211x x =⇒=±，所以{}1,1P =-．集合{}1,1P =-的真子集有{}{},1,1∅-共3个．故A 正确．
3．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A ．α内的所有直线都与直线a 异面
B ．α内不存在与a 平行的直线
C ．α内的直线都与a 相交
D ．直线a 与平面α有公共点 【答案】D 【解析】
试题分析：直线a 不平行于平面α,则a 与平面α相交或a α⊂，所以D 正确.
4．函数1()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ） A ．（5，1） B ．（1，5） C ．（1，4） D ．（4，1） 【答案】B 【解析】
试题分析：令10x -=，解得1x =，则1x =时，函数0()45f x a =+=，即函数图象恒过一个定点(1,5)，故选B ．
5．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与 BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是( )
A ．梯形
B ．空间四边形
C ．正方形
D ．有一内角为60
o
的菱形 【答案】C
解析：如图所示：因为点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，所以BD FG EH AC HG EF 2
1
////,21//
//,所以，HE GH FG EF ===,并且所成角为直角，所以四边形为正方形.
6．下列函数中，在()∞+,0上为减函数的是
A. ()x x f 3=
B. ()x x f 2
1log =
C. ()x x f =
D. ()x
x f 1
-
= 【答案】B
【解析】本题考查基本初等函数的单调性.
()x x f 3=是指数函数，底数31,>是增函数；()x
x f 2
1log =是对数函数，底数
101,2<
<是
是幂函数，10,2>是增函数；()x x f 1
-
=是反比例函数，比例系
数
10,
-<在
()∞+,0上为增函数.故选
B
7．如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同．则该组合体的表面积等于( )
A ．π15
B ．π18
C ．π
21 D ．π24
解析：由题意可知三视图复原的几何体是下部为圆柱，
上部为圆锥的几何体，所以几何体的表面积为：π
2
×
1
2
×
×π故选C 8．如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面
A 1ACC 1所成的角为 ( )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！
未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选D.如图,连接BD 交AC 于O,连接C 1O,则∠BC 1O 为直线BC 1与平面A 1ACC 1所成的角,BO=BC 1,故∠BC 1O=错误！未找到引用源。

.
9．已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则))100
1
(
(f f 的值等于( ) A.
2lg 1 2
lg 1.-B C.2lg D.-2lg 【解析】因为11
((
))(lg )(2)(2)lg 2100100
f f f f f ==-=-=-,故选D. 10．正方体内切球与外接球体积之比为 ( ) A.1∶错误！未找到引用源。

B.1∶3 C.1∶3错误！未找到引用源。

D.1∶9
【解析】选C.设正方体棱长为a,内切球半径为R 1,外接球半径为R 2.R 1=错误！未找到引用源。

,R 2=错误！未找到引用源。

a,
V 内∶V 外=错误！未找到引用源。

∶错误！未找到引用源。

=1∶3错误！未找到引用源。

,故选C.
11．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,
①BM 与ED 平行;②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成60°角;④DM 与BN 是异面直线,以上四个结论中,正确的是 ( )
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
【解析】选C.由题可知,将正方体的平面展开图还原,①BM 与ED 是异面直线,故错误;②CN
与BE 平行,故错误;③因为三角形BEM 是等边三角形,BM 与BE 成60°角,又因为BE ∥CN,所以CN 与BM 成60°角,故正确;④从图中显然得到DM 与BN 是异面直线,故正确.
12．如图,正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G,已知△A ′DE 是△ADE 绕边DE 旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线BC ∥平面A ′DE;②恒有直线DE ⊥平面A ′FG,③恒有平面A ′FG ⊥平面A ′DE.其中正确命题的个数为 (
)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.①根据BC ∥DE 知,恒有直线BC ∥平面A ′DE;②根据DE ⊥A ′G,DE ⊥FG 知,恒有直线DE ⊥平面A ′FG;③根据直线DE ⊥平面A ′FG,DE ⊂平面A ′DE 知,恒有平面A ′FG ⊥平面A ′DE.
13．已知[]log (0,1)2,4x a y a a x =>≠∈且在上的最大值比最小值多1，则a ＝ ．
【答案】2或1
2
解析： 当1a >时，
log 4log 21, 2.a a a -==当01a <<时，1
log 2log 41,.
2a a a -== 14．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是 cm 3
．
【解析】此几何体是一个组合体，上面上一个圆台，下面是半个球.故其体积
223122123(2244)4333
V V V ππ
π=+=⨯⨯+⨯++⨯=
圆台半球
正视图
俯视图
侧视图
(第14题)
15．已知函数(){
32,1log ,1x x x x f x ≤>=
，则()()30f f += ．
解析：
31,>则()33log 31f ==，01<，则()0021f ==所以()()30f f +=2．
16．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
（1）若γβγα⊥⊥,，则βα//；（2）若m ≠⊂α,n ≠⊂α，ββ//,//n m ，则βα//；
（3）若βα//，l ≠⊂α，则β//l ；
（4）若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ//l ，则n m //．
其中正确的命题是 ．（填序号） 解析：（1）不正确，面βα,可能相交。

（2）不正确，当直线n m ,平行时，βα,还可能相交；根据面面平行的判定定理只有当n m ,相交时，βα//。

（3）正确，根据面面平行定义可知l 与β无公共点，即可知β//l 。

（4）正确，因为l =βα ，可知l α⊂，又因为γ//l ，n =αγ ，则n m //。

综上可得D 正确。

17．已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}
R a a x a x C ∈+≤≤=,12|2。

（Ⅰ）求B A ,B A C R ⋂)(；（Ⅱ）若()B A C ⊆,求实数a 的取值范围. 解析：（Ⅰ）{}|210A B x x ⋃=<< (2分) 因为()[),37,R A =-∞⋃+∞ð (4分) 所以()
()[)2,37,10R A B ⋂=⋃ð (6分) （Ⅱ）由（Ⅰ）知{}|210A B x x ⋃=<< C A B ⊆⋃
又212a a +≥恒成立,故C ≠∅
2110
22a a ⎧+<∴⎨
>⎩
即()1,3a ∈ (12分) 18．如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把是BC 上的△ABD 折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D ﹣ABC 的表面积．
解：（Ⅰ）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC=D ， ∴AD ⊥平面BDC ，∵AD ⊂平面ABD ．∴平面ADB ⊥平面BDC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，
从而
，
所以三棱锥D ﹣ABC 的表面积为：
19．设a ＞0，f(x)＝33
x x a a ＋是R 上的偶函数． (1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；
【解析】(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，
于是33a a ＝13a
＋3a ，即2299133a a a a ＋＋＝.因为a ＞0，故a ＝1. (2)设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(21
13x x ＋－1)．因为3x 为增函数，且x 2＞x 1， 故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是
2113x x ＋＜1，即2113x x ＋－1＜0， 所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
20．如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点O,E 分别为B 1D,AB 的中点.
(1)求证:OE ∥平面BCC 1B 1.
(2)求证:平面B 1DC ⊥平面B 1DE.
【证明】(1)连接BC 1,设BC 1∩B 1C=F,连接OF,
因为O,F 分别是B 1D 与B 1C 的中点,所以OF ∥DC,且OF=DC,又E 为AB 中点,所以EB ∥DC,且EB=DC,从而OF ∥EB,OF=EB,即四边形OEBF 是平行四边形,所以OE ∥BF,又OE ⊄面BCC 1B 1,BF ⊂面BCC 1B 1,所以OE ∥面BCC 1B 1.
(2)因为DC ⊥平面BCC
1B 1,BC 1⊂平面BCC 1B 1,所以BC 1⊥DC,又BC 1⊥B 1C,且DC,B 1C ⊂平面B 1DC,DC ∩B 1C=C,所以BC 1⊥平面B 1DC,而BC 1∥OE,所以OE ⊥平面B 1DC,又OE ⊂平面B 1DE,所以平面B 1DC ⊥平面B 1DE.
21．如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，
（1）求证：BE ⊥面ABC ； （2）设ABC ∆为等边三角形，求直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值．
解析：（1）∵底面BCDE 为矩形 ∴BE BC ⊥．∵侧面ABC ⊥底面BCDE ，且交线为BC ,
BE ⊂平面.ABCD ∴BE ⊥面ABC ．
（2）由（1）可知BE ⊥面ABC 。

∵BE ⊂平面.ABE ∴平面ABE ⊥底面ABC ,且交线为AB 。

取AB 的中H ,连接EH ．∵ABC ∆为等边三角形
∴,CH AB CH ⊥⊥平面ABE ．∴CEH ∠是直线CE 与平面ABE 所成角．
在矩形BCDE 中，CE =． 在正ABC ∆中，CH =∴
sin CH CEH CE ∠===． 22．在四棱锥A B C D P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，42==AB PA ．
（1）求证：//EM PAB 平面；（2）求证：AE PC ⊥；（3）求三棱锥ACE P -的体积V . 解析：（1）因为E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，则在PAD ∆的中，//ME PA
又PA ME ⊂⊄平面PAB,平面PAB 则EM ∥平面PAB .
（2）证明:取PC 中点F ，连接,AF EF .
在Rt ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，则BC =4AC =．
而4PA =，则在等腰三角形APC 中 PC AF ⊥. ①
又在PCD ∆中，,PE ED PF FC ==, 则EF ∥CD
因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥CD ，
又90ACD ∠=，即CD AC ⊥，则CD ⊥平面PAC ，所以CD PC ⊥ 因此EF PC ⊥． ②，又EF AF F =，由①②知 PC ⊥平面AEF ． 故PC ⊥AE
（3）由（1）（2）知 4AC =, CD =12EF CD =
= 因为CD ⊥平面PAC ， EF ∥CD ，则EF ⊥平面PAC 因此EF 为三棱锥E PAC -的高 而1
1
448
22Rt PAC S PA AC ∆=⋅=⨯⨯= 故
11
833P AEC E PAC Rt PAC V V S EF --∆==⋅=⨯⨯=。