山东省菏泽市高二下学期期末考试数学试题(理)-含答案

第二学期期末考试 高二理科数学试题（B ） 第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题.
1.设i 是虚数单位，则复数32
i i
-
的虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．-1
2. 若离散型随机变量X 的分布如下：则X 的方差()D X =（ ）
X
0 1 P
m
0.6
A ．0.6
B ． 0.4
C ．0.24
D ．1
3.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20ax bx c ++=有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 （ ）
A ． 假设,,a b c 都是偶数
B ．假设,,a b c 都不是偶数
C ． 假设,,a b c 至多有一个偶数
D ．假设,,a b c 至多有两个偶数 4. 设两个正态分布()()2111
,0N μσσ
>和()()2
222,0N μσσ>的密度函数图像如图所示。

则
有（ ）
A ．1212,μμσσ<<
B ．1212,μμσσ<> C. 1212,μμσσ>< D ．1212,μμσσ>>
5. 在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）
A ．2
3
3197C C 种 B ．()
514
2003197C C C -种 C. 23
3198C C 种
D ．()
2332
31973197C C C C +种
6. 函数()ln f x x =过原点的切线的斜率为（ ） A ．
1
e
B ． 1 C. e D ．2e 7.甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是 （ ） A ．甲 B ．乙 C. 丙 D ．丁
8. 如图，用6种不同的颜色把图中A B C D 、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A ． 496种
B ．480种 C. 460种 D ．400种 9. 若()
()2018
22018012201812x a a x a x a x x R -=++++∈L ，
则2018
1222018
222a a a ++
的值为（ ） A ． 2 B ． 1 C. 0 D ．-1 10. 已知m 是实数，函数()()2
f x x x m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调递增区
间是（ ） A ．()4,,0,3⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝⎭ B ．()4,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U C. 4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
11.由曲线y x =
2y x =-及x 轴所围成的图形的面积为 （ ）
A ．4
B ． 6 C.
103 D ．163
12. 设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有
()()2f x xf x x '+>，则不等式()()()2
20182018420x f x f --->的解集为 （ ）
A ．()2016,+∞
B ．()0,2016 C. ()0,2020 D ．()2020,+∞ 二、填空题
13.若复数
11i
i z
+=-，则3z i += ．
（z 是z 的共轭复数） 14. ()()
2018
11x x -+展开式中x 项的系数为 ．
15.记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是 ． ①由a b R ∈g ，类比得x y I ∈g ②由20a ≥，类比得20x ≥
③由()2
222a b a ab b +=++，类比得()2
222x y x xy y +=++ ④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>-
16.已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，又知()f x 的导函数()y f x '=的图象如下图所示：
x
-1 0 4 5 ()f x
1
2
2
1
则下列关于()f x 的命题：
()0,2为函数()f x 的一个极大值点；
②函数()f x 的极小值点为2； ③函数()f x 在[]0,2上是减函数；
④如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ⑤当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点. 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
17.已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.
（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.
18. 某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：
（1）根据以上2×2列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？
（2）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X 的分布列及数学期望.
参考公式：()()()()()
2
2n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
参考数据：
19. 数列{}n a 满足()
*21n n S a n n N +=+∈. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
20. 为了更好地服务民众，某共享单车公司通过APP 向共享单车用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元奖券、获得2元奖券的概率分别是0.5、0.2，且各次获以骑行券的结果相互独立.
（1）求用户骑行一次获得0元奖券的概率；
（2）若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为
X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
21. 已知函数()2
14ln 22
f x x a x x =--
-，其中a 为正实数.
（1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间；
（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<- 22. （二选一）从下面两道题中，任选一道作答. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x t
y t
=--⎧⎨
=+⎩（t 为参数），以坐标原点为
极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222
1sin ρθ
=+，直线l 与
曲线C 交于,A B 两点.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 的极坐标为24π⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，求PA PB g 的值.
选修4-5：不等式选讲
已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；
（2）若()2
x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5 CCBAD 6-10 ABBDA 11、12：CD 二、填空题
13. 2 14. 2017 15. ③ 16.②③ 三、解答题
17.解：（1）()()2151252z az a i a ai +=+-=+-， 由题意得50
20
a a +>⎧⎨
-<⎩解得0a >；
（2）()()()()12121234261123442i i z z i
z i z z i i i
--+---=
===--+-+++，
1z i =-+.
18.解：（1）由列联表可得
()()()()()
()22
23042816107.87912182010n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响. （2）根据题意，X 可取的值为0，1，2，
()()()1122
84842221212121
16140,1,2113333
c c C c P X P X P X c c C =========，
所以X 的分布列是
X 的数学期望是()0121133333
E X =⨯+⨯+⨯=.
19.解：（1）根据数列{}n a 满足()
*21n n S a n n N +=+∈， 当1n =时，11121S a a ==-+，即13
2
a =
； 当2n =时，212241S a a a =+=-+，即274
a =； 同理341531,816
a a =
=， 由此猜想()1*21
2
n n n
a n N +-=∈； （2）当1n =时，13
2
a =
，结论成立； 假设n k =（k 为大于等于1的正整数）时，结论成立，即121
2
k k k
a +-=， 那么当1n k =+（k 大于等于1的正整数）时
()11121121k k k k k a S S k a k a +++=-=++---+，∴122k k a a +=+，
∴121121
2221
2222k k k k k k a a ++++-++-===，即1n k =+时，结论成立，
则()1*
212n n n
a n N +-=∈. 20.解：（1）由题可知骑行一次用户获得0元奖券的概率为：113
12510
--=； （2）由（1）知一次骑行用户获得0元的概率为
310
， X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4.
∵()()2
12391330,11010021010P X P X C ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭，
()()2
1122131371112,35102100255P X C P X C ⎛⎫==⨯+===⨯= ⎪⎝⎭,
()2
114525P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
, ∴X 的分布列为：
X 的数学期望为1234 1.810100525
EX =⨯+⨯
+⨯+⨯=（元） 21.解：（1）因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4a
f x x x
'=--，
则()132f a '=-=，所以a 的值为1.
（2）()244a x x
a
f x x x x
-+'=--=-，函数()y
f x =的定义域为()
0,+∞，
①若1640a -≤，即4a ≥，则()0f x '≤
，此时()f x 的单调区间为
()0,+∞； ②若1640a ->，即04a <<，则()0f x '=的两根为2± 此时()f x 的单调区间为(()
0,2,2+∞， 单调减区间为(2-.
（3）由（2）知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12124,x x x x a +==， 因为()()22
12111222114ln 24ln 222
f x f x x a x x x a x x +=--
-+--- ()()()22
12121214ln 42
x x a x x x x =+--+- ()2
116ln 4244ln 2
a a a a a a =--
--=+-， 要证()()126ln f x f x a +<-，只需证ln ln 20a a a a --+>， 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x '=+--
=-， ()g x '在()0,+∞上单调递增，又()()1
110;2ln 202
g g ''=-<=->，
且()g x '在定义域上不间断，
由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x ，且00
1ln x x =
， 则()g x 在()00,x 上递减，()0,4x 上递增，所以()g x 的最小值为()0g x . 因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫
=--+=--
+=-+ ⎪⎝
⎭， 当()01,2x ∈时，00152,2x x ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
，则()00g x >，所以()()00g x g x ≥>恒成立， 所以ln ln 20a a a a --+>，所以()()126ln f x f x a +<-，得证. 22.解：（1）l 的普通方程为：10x y +-=； 又∵2
2
2
sin 2ρρθ+=，∴2
2
2
2x y y ++=，
即曲线C 的直角坐标方程为：2
212
x y +=； （2）11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，直线l
的参数方程为12212
x t y ⎧'
=-⎪⎪⎨
⎪'=+
⎪⎩（t '为参数）
，
代入曲线C
的直角坐标方程得2
2
1122022⎛⎫⎛⎫
''++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
即
235024
t ''-=， 121256
PA PB t t t t ''''===g g .
23.解：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
，
所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<； 当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-. （2）由()2
x a f x -+≤得()2
a x f x ≤+，
因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5， 所以当0x =时，()2
x f x +取得最小值5，
故5a ≤，取a 的取值范围为(],5-∞.。