第2章 状态方程与输出方程

u1 y1 u y 2 U Y 2 ur xn ym
d12 d 22 dm2

现代控制理论
第2章 状态方程与输出方程
3、多输入-多输出(MIMO)线性时变系统
X A(t ) X B (t )U Y C (t ) X D (t )U
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12 u2 d1r ur y2 a21 x1 a22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22 u 2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn bm1u1 d m 2u2 d mr u r
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二、状态空间描述的建立
通过实际的物理模型来了解系统的建模步骤及思想， 同时说明状态变量的特点。 例题2.2 如图2.2所示的机械系 统，外力u(t)为系统的输入 量，位移y(t)为系统的输出 量，试求其数学描述。 解：根据牛顿第二定律分析可得
ma m dV u Ky fV dt V
d 2uc du LC 2 RC c uc u dt dt
第二种形式的数学描述
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传递函数表示形式为
uc ( s ) 1 u ( s) LCs 2 RCs 1
第三种形式的数学描述
一阶微分方程组表示形式为
duc 1 uc dt C i di 1 R 1 i uc i u L L L dt
1、单输入-单输出(SISO)线性定常系统 在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输 入变量为阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连 续系统，其状态变量为x1、x2、… 、xn，则一般形式的 状态空间描述写作： x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x a x a x a x b u 2 21 1 22 2 2n n 2 xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu
图2.2 机械系统图
dy dt
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令 x1 y 、 x2 V y ，则动态方程为
x1 x2 x k x f x 1 u 1 2 2 m m m
y x1
则系统的状态空间描述为 1 x 0 x1 0 f 1 1 u k x 2 m m x2 m
1 x1 0 C 1 u R x2 L L
x y 1 0 1 x2
② 选取状态变量x1=i、x2=uc，则 x1 R x1 1 x2 1 u
L 1 x2 x1 C L L
加法器加法器24现代控制理论状态方程与输出方程已知一阶系统的传递函数为系统的方块图为相当于积分环图26一阶系统方块图状态方程与输出方程一阶系统的状态变量图为由状态变量图可直接写出状态空间描述为图27一阶系统状态变量图状态方程与输出方程已知二阶系统的传递函数为相当于两个积分器串联状态方程与输出方程二阶系统的状态变量图为由状态变量图可直接写出状态空间描述为图28二阶系统状态变量图化简为现代控制理论状态方程与输出方程已知高阶系统的传递函数为高阶系统的状态变量图如图29所示
图2.3 RLC网络图
① 选取状态变量x1=uc、x2=i，则
1 x1 x2 C 1 R 1 x2 x1 x2 u L L L
y x1
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列写状态空间描述为
x1 0 x 1 2 L
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以上方程可写成矩阵形式，即 x1 x X AX BU X 2 Y CX DU
其中， Ann 、 Bnr 、Cmn 、Dmr ，n表示系统维数，r表示输 入向量的维数，m表示输出向量的维数。
由此可见，状态变量选择的不同，则系统的状态空间 描述的表达形式也是不同的。但它们描述的都是同一个物 理过程，所以在它们之间一定存在某种坐标变换关系，即 可以通过一个变换矩阵来相互转化。
状态变量的特点
1、状态变量的选取不唯一； 2、状态变量的个数唯一。
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三、状态空间描述的表示形式
外部描述(输入-输出描述)：描述的前提是把系统视为 一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只 是反映外部变量间的因果关系，即输入-输出间的因果关 系。表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。 内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模型，它 需要有两个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组 和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程； 另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组 间转换关系的数学表达式，称输出方程。
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2.1 状态空间描述的概念
系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求 解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏 变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函 数，基于传递函数设计单输入-单输出系统极为有效，可从传递 函数的零极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解 分析设计法，至今仍得到广泛应用。但传递函数对系统是一种 外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量，因此传递函 数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向 复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、 输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之 利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理 复杂的时变、非线性、多输入-多输出系统的问题，但传递函数 法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内 部进行描述的新方法——状态空间分析法。
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一、基本定义
例题2.1 如图2.1所示的RLC网络，u为输 入变量，uc为输出变量，试求其数学 描述。 解：由图分析可知
duc C dt i di Ri L uc u dt
图2.1 RLC网络图
第一种形式的数学描述
列写该回路的微分方程为
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
式中常系数 a11 , a12 ,, a1n ; b1, b2 ,, bn ; c1, c2 ,, cn ; d 与系统 特性有关。
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以上方程可写成矩阵形式，即
X AX Bu y CX Du
y x2
R x1 L 列写状态空间描述为 x2 1 C
1 x 1 L 1 u L 0 x2 0
x y 0 1 1 x2
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a1n b1 b a2 n B 2 ann bn
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用方块图表示如图2.4所示。
D
u
B
X

A

X

C
y
图2.4 线性定常系统方块图
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2、多输入-多输出(MIMO)线性定常系统 MIMO线性定常连续系统一般形式的状态空间描述 为： x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x a x a x a x b u b u b u 2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2r r xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnrur
4、非线性定常系统
X f ( x, u ) Y g ( x, u )
5、非线性时变系统
X f ( x, u , t ) Y g ( x, u , t )
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四、系统状态空间描述的特点
★ 状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程，因 此它提示了问题的本质。 输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为 向量微分方程，即状态方程；状态决定输出是一个变换过 程，数学上表现为变换方程，即代数方程。 ★ 对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。 一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察 的量，但从便于控制系统的结构来说，把状态变量选为可 测量或可观察更为合适。系统的状态变量个数仅等于系统 包含的独立贮能元件的个数。 ★ 系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法。
向量矩阵方程表示形式为
uc 0 i 1 L 1 uc 0 C 1 u R i L L
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由例题2.1可知，系统的描述可分为外部描述和内部 描述两种。 传递函数
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2、状态向量 以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。即
x1 (t ) x (t ) 2 x (t ) x3 (t )
3、状态空间
以各状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。 4、状态空间描述
在状态空间中建立的描述系统性能的数学模型，包 括状态方程和输出方程。
其中， Ann ——系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定， 体现了系统内部的特性； Bn1 ——输入矩阵，体现了系统输入的施加情况； C1n ——输出矩阵，表达了输出变量与状态变量之间 的关系； D11 ——直接转移矩阵(或称关联矩阵)，表示了控制 向量u直接转移到输出变量y的转移关系。
x1 a11 a12 x a 2 21 a22 X A xn an1 an 2 C c1 c2 cn
向量矩阵方 程
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同时可以建立以下几个基本概念。 1、状态变量
状态变量是能够完整地准确地描述系统的时域行为 的最小一组变量。即 x1 (t ) 、 x2 (t ) 、…、xn (t ) 。 满足： ① 在任何时刻t=t0，这组状态变量的值 x1 (t ) 、 x2 (t ) 、 … 、 xn (t ) 都表示系统在该时刻的状态； ② 只要t0时状态已知，t>t0时的输入电压u(t)已知，则今 后的运动状态也唯一地确定讲人：赫健
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2.1 状态空间描述的概念
2.2 一般时域描述化为状态空间描述
2.3 频域描述化为状态空间描述
2.4 根据状态变量图列写状态空间描述


2.5 根据方块图导出状态空间描述
2.6 将状态方程化为规范形式

小结
现代控制理论
x y 1 0 1 x2
建立步骤
1、由已知条件分析得出系统的微分方程；
2、确定系统的状态变量；
3、列写系统的状态空间描述。
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例题2.3 如图2.3所示的RLC网络，u为输 入变量，uc为输出变量，试求其数学 描述。 解：由图分析可知
duc C dt i di Ri L uc u dt
a11 a A 21 an1 c11 c C 21 cm1 a12 a22 an 2 c12 c22 cm 2 a1n a2 n ann c1n c2 n cm n b11 b B 21 bn1 d11 d D 21 d m1 b12 b22 bn 2 b1r b2 r bnr d1r d 2r d mr