高考数学北师大版二轮复习课件5-4 数列求和

一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等 差、等比数列的前 n 项和公式，注意等比数列公比 q 的取值情况要 分 q＝1 或 q≠1. 2．一些常见数列的前 n 项和公式： nn＋1 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ . 2 (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n
考点一
分组转化求和
n 1 2 12 2 1 2 求和：Sn＝x＋x ＋x ＋x2 ＋…＋x ＋xn .
【思路点拨】 数列．事实上
非等差、等比数列可考虑能否转化为可求和的
n 1 2 1 1 2n 2n an＝ x ＋xn ＝x ＋ 2n＋2，其中{x }、x2n都是等比 x
4．倒序相加法 如果一个数列{an}， 首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差 数列的前 n 项和即是用此法推导的．
1 6． 设 f(x)＝ x ， 求 f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6) 2＋ 2 的值． 1 1 解析：∵f(1－x)＋f(x)＝ 1－x ＋ 2 ＋ 2 2x＋ 2 2x 1 2x 2 2 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 2＋ 2· 2x 2x＋ 2 2 2＋2x 2 2＋2x 2 设 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)， 则 S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)， 2 两式相加，得 2S＝12× ， 2 ∴S＝3 2.
＋
①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n· 2n 21－2n ＝ －n· 2n＋1＝2n＋1－2－n· 2n＋1， 1－2 ∴Sn＝(n－1)· 2n＋1＋2. 答案：(n－1)· 2n＋1＋2
＋1
3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
x21－x2n x－21－x－2n ＝ ＋ ＋ 2n 1－x2 1－x－2 x2n－1x2n 2＋1 ＝ ＋2n， x2nx2－1
＋
当 x＝± 1 时，Sn＝4n， 4n， x＝± 1， 2n ＋ ∴Sn＝x －1x2n 2＋1 ＋2n， x≠± 1. x2nx2－1
答案：C
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
2．数列{(－1)n· n}的前 2 010 项的和 S2 010 为( A．－2 010 C．2 010 B．－1 005 D．1 005
)
解析：S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋…－2 009＋2 010 ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 009＋2 010) ＝1 005. 答案：D
1 1 1 3．数列 1,4 ，7 ，10 ，…前 10 项的和为________． 2 4 8 1 1 1 1 解析：1＋4 ＋7 ＋10 ＋…＋28 2 4 8 512 1 1 1 1 ＝(1＋4＋7＋…＋28)＋( ＋ ＋ ＋…＋ ) 2 4 8 512 511 ＝145 . 512 511 答案：145 512
1 1 1 1 1 1 1．数列 1,1＋ ，1＋ ＋ 2，…，1＋ ＋ 2＋…＋ n－1，…的前 n 2 2 2 2 2 2 项和为( 1 A. n 2 C.
n－1＋2n－2 2
) 1 B. n－1 2 n D. n 2
1
1n 1 1 1 解析：an＝1＋ ＋ 2＋…＋ n－1＝21－2 2 2 2 1 1 1 1 ∴Sn＝2n－22＋22＋…＋2n＝2n＋ n－1－2. 2
数列，{2}是常数列，这些均可求和．
【自主试解】 ∴当 x≠± 1时
1 ∵an＝x ＋ 2n＋2， x
2n
2 1 4 1 2n 1 Sn＝x ＋x2＋2＋x ＋x4＋2＋…＋x ＋x2n＋2
＝(x ＋x ＋…＋x
2
4
2n
1 1 1 )＋ x2＋x4＋…＋x2n＋2n
第四节
数列求和
目标定位
学习指向 1. 以考查等差、等比数列的求和公式
1.熟练掌握等差、 为主，同时考查转化的思想． 等比数列的求和 2.对非等差、等比数列的求和，主要考 公式． 查学生的观察能力、分析问题与解决
2.掌握非等差、 等 问题的能力以及计算能力． 比数列求和的几 3.数列求和常与函数、方程、不等式等 种常见方法． 诸多知识联系在一起，以它复杂多变、 综合性强、解法灵活等特征而成为高 考的中档题或压轴题.
2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比 数列的前 n 项和就是用此法推导的．
4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n· 2n，则 Sn＝________. 解析：∵Sn＝2＋2· 22＋3· 23＋…＋n· 2n① ∴2Sn＝22＋2· 23＋3· 24＋…＋(n－1)· 2n＋n· 2n 1②
1 5．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ ，则 S5 等于( nn＋1 A．1 1 C. 6 5 B. 6 1 D. 30
)
1 1 1 解析：an＝ ＝ － . nn＋1 n n＋1 1 1 1 1 1 1 5 ∴S5＝(1－ )＋( － )＋…＋( － )＝1－ ＝ . 2 2 3 5 6 6 6 答案：B
\\\\\\方法规律\\\\\ 如果数列{an}的通项 an 可写成 an＝bn± cn，而{bn}、{cn}是等差数 列或等比数列或其前 n 项和可求， 那么数列{an}的前 n 项和就可转化 为{bn}与{cn}前