电力系统静态稳定计算

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第六章 电力系统静态稳定计算
电力系统运行的静态稳定性是指电力系统在某种正常运行状态下遭受微小的扰动，能否保持同步发电机同步运行的能力。

电力系统时刻都在遭受微小扰动，因此，保证电力系统运行的静态稳定是电力系统运行必不可少的条件。

电力系统静态稳定计算的目的，就是要查明电力系统在某一正常运行方式下能否保持静态稳定。

如果不能保持静态稳定，就应采取相应的措施。

电力系统静态稳定计算也分为简化模型和复杂模型两种。

由于篇幅的限制，这里只讨论简化模型的静态稳定计算。

第一节 静态稳定计算的基本原理
静态稳定计算一般采用小扰动法，也称小干扰法或小振荡法。

所谓小振荡法，就是首先列出描述电力系统运动的微分方程，这些微分方程通常是非线性的。

然后将它们在状态变量平衡点附近进行线性化，得出一组近似的线性微分方程。

最后用QR 法计算线性微分方程组系数矩阵的特征根。

根据特征根在复平面上的特性，判别电力系统运行的稳定性。

在简化的发电机模型中，不考虑发电机的凸极效应，假定暂
态电抗'
d X 后的暂态电动势'E 保持不变，同时不考虑调速系统的调
节作用，即假定发电机输入机械功率m P 恒定。

在简化模型中，负荷用恒定阻抗表示。

根据这些假定，电力系统运行方程只有发电机转子运动方程，即方程（5—1）与（5—2）。

由于发电机转速变化很小，一般假设ω=1。

转子运动方程（5-1）与（5-2）合并后，可得
)(22ei mi N i
Ji
P P dt
d T -=ωδ （6—1） i =1, 2, …，f
其中是发电机台数。

方程（6—1）进行线性化后，可得
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∑=∆⨯∂∂⨯-=∆f
j j j ei
Ji
N i P T dt d 12
2δδωδ （6—2） 令 j
ei
Ji
N
ij P T S δω∂∂⨯
-
= （6—3）i
ei
Ji N
ij P T S δω∂∂⨯
-
= （6—4） 那么方程（6—2）可写成
∑=∆=∆f
j j ij i
S dt d 1
2
2δδ （6—5） i =1, 2, …， f
方程（6—5）展开式为
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆f ff f f f f f S S S S S S S S S dt
d δδδδδδM ΛM O M M ΛΛM 212122221112112122 （6—6） 或用矩阵符号表示为
δδ
∆=∆S dt d 2
2 （6—7） 方程（6—5）中的ii ij S S ,是发电机电磁功率e P 对各发电机转子位置角取偏导数，再由转子位置角在平衡点的数值代入求得的。

为此，必须将发电机电磁功率e P 表示为各发电机转子位置角的函数。

设系统网络原有n 个节点。

这些节点可以分为发电机节点、负荷节点和联络节点。

负荷用恒定阻抗表示后，负荷节点也变成联
络节点。

发电机定子回路用一个暂态电动势'E &串联一个暂态阻抗为'
d jx 的支路表示后，系统网络结构如图6—1所示。

这样，每台
发电机增加一个内电动势节点。

原发电机节点变成联络节点。

全网共有(n+f)个节点，其中n 个是联络节点，f 个是发电机内电动势
188
节点。

联络节点注入电流为零。

为了计算发电机的电磁功率，必须消去网络中的n 个联络节点，只保留f 个发电机内电动势节点。

图6—1所示的网络方程为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡F N FF FN NF NN
F N E U Y Y Y Y
I I （6—8） 式中 U N ——原网络n 个节点电压列向量；
I N ——原网络n 个节点注入电流列向量，等于零； E F ——发电机内电动势列向量；
I F ——发电机内电动势节点注入电流列向量； Y NN ——原网络n 个节点自导纳矩阵；
Y NF ——原网络n 个节点与发电机内电动势个节点之间的互导纳矩阵；
Y FN ——Y NF 的转置矩阵；
Y FF ——f 个发电机内电动势节点的自导纳矩阵。

Y NN 是以方程（3—1）中的正序导纳矩阵Y 1为基础，发电机
节点增加自导纳1/j '
d x ，负荷节点增加自导纳1/Z L1的导纳矩阵。

Y NF 是n ⨯f 维矩阵，其中只有原网络发电机节点与内电动势节
点之间的互导纳元素为-1/j 'd x ，其余元素均为零。

Y FF 是f f ⨯维矩阵。

它是一个对角元素为1/j '
d x 的对角矩阵。

为了消去原网络n 个节点，利用方程（6—8）的展开式，且注
图6-1 网络结构
E 1’
E 2’
E f ’
189
意到I N =0，进行矩阵运算后，可得
F F F E Y I = （6—9）
其中 NF NN FN FF F Y Y Y Y Y 1
--= （6—10）
Y F 就是只保留发电机内电动势节点的网络节点导纳矩阵。

采用高斯消去法也可以求得Y F 。

式（6—8）进行高斯消去运算后，便变成下列形式的方程。

⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡F N F NF
NN F E U Y Y Y I 0
0'
'
(6—11) 方程（6—11）展开后，便得方程（6—9）。

用高斯消去法求Y F 占用内存少，计算速度快。

下面介绍的静态稳定计算程序就是采用这种方法的。

利用方程（6—9）经推导，可得发电机电磁功率的表达式。

)sin cos ('1'ij ij ij ij j f
j i ei B G E E P δδ+=∑= （6—12）
式中 ''j i E E 、——第i 、j 台发电机暂态电动势；
ij δ——第i 、j 台发电机转子位置角之差;
G ij 、B ij ——Y F 矩阵第i 行第j 列元素的实部与虚部。

由式（6—12）代入式（6—3）、（6—4），可得 )cos sin (00'0'0ij ij ij ij j i Ji
N
ij B G E E T S δδω--= （6—13）
∑≠=-=
f
i
j j ij ij ij ij j i Ji
N
ii B G E E
T S 100'0'
)cos sin (δδω （6—14）
其中0ij δ是正常运行状态第i 、j 台发电机转子位置角之差。

'0'0,j i E E 是正常运行状态第i,j 台发电机暂态电动势。

方程（6—5）的状态变量是发电机转子绝对位置角。

判别电力系统的稳定性是以发电机转子之间相对位置角的变化曲线为依据的，而不是以发电机转子绝对位置角的变化曲线为依据的。

因此，方程（6—5）必须变换成以发电机转子之间的相对位置角为状态变量的方程。

190
由式（6—13）、（6—14）可知
∑≠=-=f
i j j ij ii S S 1
（6—15）
这也说明方程（6—5）中有一个状态变量不是独立的。

设第f 台发电机的转子位置角为基准角。

根据式（6—5），将第i 台发电机转子运动方程减去第f 台发电机转子运动方程，并利用关系式（6—15），经过适当的变换，可得
∑=∆=∆f
j jf ij if K dt d 1
2
2δδ （6—16）
i=1, 2, …, (f —1)
其中 fj ij ij S S K -= （6—17）
∑≠=+-=f
i j j fi ij ii S S K 1
)( （6—18）
方程（6—16）的展开式为：
⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆--------f f f f f f f f f f f f f f K K K K K K K K K dt d )1(21)1)(1(2)1(1)1()1(22221
)1(11211
)1(2122δδδδδδΛΛΛ
ΛΛΛ
ΛΛΛ （6-19） 或用矩阵符号表示为：
δδ
∆=∆K dt
d 2
2 （6—20） 应该注意，方程（6—20）中δ∆列向量与方程（6—7）不一样。

这里δ∆列向量是f-1维，由相对转子位置角组成的。

电力系统静态稳定计算就是计算K 矩阵的特征根。

其特征根为：
i i p λ±=)2,1( （6—21） 根据)2()1(,i i p p 的特性，就可以判断系统是否静态稳定的。

由于没有考虑阻尼作用，因此，只有所有的值都是负实数，系统才是静态稳定的，否则，系统是不稳定的。

第二节静态稳定计算程序及其实现
一、原理框图
二、程序及上机说明
由上述框图可编程如下：
%本程序是用小干扰法求系统的静态稳定
S0=input('请输入初始功率：S0=');
V0=input('请输入无限大系统母线电压：V0=');
Xd=input('请输入系统直轴等值电抗：Xd=');
w0=input('请输入同步电角速度：w0=');
Tj=input('请输入惯性时间常数：Tj=');
Eq=sqrt((V0+imag(S0)*Xd./V0)^2+(real(S0)*Xd./V0)^2);
dtj0=atan(real(S0)*Xd./(V0*(V0+imag(S0)*Xd./V0)));
Psl=Eq*V0./Xd;
C=w0;
D=-1./Tj*Eq*cos(dtj0)*V0./Xd;
Kp=(Psl-real(S0))./real(S0);
191
192
root1=sqrt(C*D); root2=-sqrt(C*D);
disp('该系统的静态稳定极限：Psl='); disp(Psl);
disp('该系统的静态储备系数为：Kp='); disp(Kp);
disp('系统线性微分方程的特征根为：'); disp(root1);disp(root2); if root1==conj(root2);
disp('该系统是静态稳定的。

');
elseif imag(root1)==0 & imag(root2)==0 disp('该系统是不稳定的。

'); end 上机说明：
○
1请输入初始功率S0,形如a+jb 。

○
2请输入无限大系统母线电压V0 ○
3请输入系统直轴等值电抗Xd 对于Xd 有以下几点说明：
当没有自动励磁调节器时212
1
T L T d d X X X X X +++=
当有比例式自动励磁调节器时21'
21T L T d d X X X X X +++=
当有强力式自动励磁调节器时212
1
T L T d X X X X ++=
○4请输入同步电角速度w0 ，单位（弧度）。

○5请输入惯性时间常数Tj ，单位（秒）。

三、实例
例6-1：简单电力系统如图6-2(a)所示。

一台隐极式同步发电机经由变压器T 1,双回输电线路L ，变压器T 2与无限大系统相联。

元件参数及初始运行情况如下：
142
.0,197.0,8.121====T T d X X Xq X s T j 10=
361.0583.00j S +=，7.0=L X 试确定静态稳定储备系数并判断系
统的稳定性。

193
解：输电线的总电抗为：
489.2142.035.0197.08.12
1
21=+++=+++=T L T d d X X X X X
输入数据如下：
请输入初始功率：S0=0.583+0.361i 请输入无限大系统母线电压：V0=1 请输入发电机直轴等值电抗：Xd=2.489 请输入同步电角速度：w0=100*pi 请输入惯性时间常数：Tj=10 结果为：
该系统的静态稳定极限：Psl= 0.9601
该系统的静态储备系数为：Kp= 0.6467
系统线性微分方程的特征根为： 0 + 4.8952i 0 - 4.8952i
该系统是静态稳定的。

G
（a ）
(b) 图6—2。