《巧破圆锥线小题的几个实用定理》一文中定理的证明

《巧破圆锥曲线小题的几个实用定理》一文中定理的证明
定理1：若点P 是“有心圆锥曲线”的弦AB 的中点，其中AB 不平行于对称轴且不过曲线中心O ，则21AB OP k k e •=-.（ 圆的垂径定理的推广）
证明：在椭圆中，设),,(),,(),,(002211y x P y x B y x A 则1221221=+b y a x ，122
2
222=+b y a x ，两式相
减，得到022
22122221=-+-b y y a x x ，即.2)(2)(2
212021b y y y a x x x •--=•-所以,)()(22
002121a
b x y x x y y -=•--所以，1222-=-=•e a b k k OP AB
同理可推导双曲线。

定理2：若AB 为“有心圆锥曲线”的直径，点P 为曲线上异于,A B 的任一点，则
21PA PB k k e •=-.（圆周角定理的推广）
证明：如图，取PB 中点M ,则PA OM k k =由定理1，可知12
-=•=•e k k k k PA PB OM PB ，
同理可推导双曲线。

定理3：设22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 满足12F PF α∠=，其中1F 和2F 是其焦点，则
△12F PF 的面积为2
tan
2
b α
.
证明：由椭圆定义可知a PF PF 221=+，在21F PF ∆中由余弦定理得
)cos 1(2)(cos 2212
21212
22
12
21αα+•-+=⋅•-+=PF PF PF PF PF PF PF PF F F
α
αcos 12)cos 1(2)2()2(22221+=+-=⋅∴b c a PF PF ,
2tan 2cos 22cos
2
sin
2sin cos 1221sin 212222212
1ααα
α
αα
αb b b PF PF S F PF =•=•+•=••=∴∆
定理4：设22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上一点P 满足12F PF α∠=，其中1F 和2F 是其焦点，
则△12F PF 的面积为2
cot
2
b α
.
证明：过程类比定理3证明.
定理5：圆锥曲线（双曲线需同支）中共线焦半径分别为,,21r r 通径为L ，则
L
r r 4
1121=+. 证明：设l 是倾斜角为θ且过椭圆122
22=+b
y a x 的焦点)0,(c F 的直线与椭圆交于
),(),,(2211y x B y x A (0,021≤≥y y )两点，不妨设,,21r BF r AF ==则直线l 的
方程可表示为c my x += 或0=y ，
当直线l 满足0=y 时，显然，c a r AF -==1，,2c a r BF +== 此时，
22121111b a c a c a r r =++-=+=L a
b
4
242= 当直线l 满足c my x +=时，θsin 11y r AF =
=，,sin 2
2θ
y r BF =
= )1(11
sin 112
1122211221y y y y m y y y y r r -⋅+=-⋅=+θ
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+c my x b y a x 122
22，消元整理得02)(2
22222222=-+++b a c b y mcb y m b a
由根与系数关系⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-
=+-=+-=+)
2()(222242222
22212
22221m b a b m b a a c b y y m b a mcb y y
2
222
242212
212
21)
()
1(44)()(m b a m b a y y y y y y ++=-+=-∴
)3(1
22
222221m b a m ab y y ++=
-∴
将⑵⑶代入⑴整理得
L b a y y y y m r r 4211
1122
112221==-⋅+=+
同理可推得对于双曲线，抛物线上述结论依然成立。

定理6：（1）若极点P 在曲线Γ上，则极线l 就是曲线Γ在点P 处的切线；（2）若过极点P 可作曲线Γ的两条切线，,N M 为切点，则直线MN 就是极线.
证明：（1）设极点为),(00y x P ,则极线0)()(:0000=++++++F y y E x x D y Cy x Ax l 根据隐函数求导法则，方程0222
2
=++++F Ey Dx Cy Ax 两边对x 求导，得到
0''=+++Ey D Cyy Ax ，所以E
Cy D
Ax y ++-
='
，所以E Cy D Ax k ++-=00，故圆锥曲线在点P 处
的切线方程为)(0000x x E
Cy D
Ax y y -++-
=-，到点P 在曲线上，所以有
022002
02
0=++++F Ey Dx Cy Ax ，代入切线方程，化简得切线方程为
0)()(0000=++++++F y y E x x D y Cy x Ax ，极线l 就是曲线Γ在点P 处的切线。

(2)设),,(),,(2211y x N y x M 由(1)得曲线在点M 处的切线方程为
0)()(1111=++++++F y y E x x D y Cy x Ax ，又切线过点P ,所以0)()(10100101=++++++F y y E x x D y Cy x Ax ,同理得
0)()(20200202=++++++F y y E x x D y Cy x Ax ,故过直线MN 的方程为 0)()(0000=++++++F y y E x x D y Cy x Ax ,则直线MN 就是极线.
定理7：设AB 为抛物线的焦点弦，则过切点,A B 的切线的交点轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线，切点为,A B ，则AB 为焦点弦. 证明：设抛物线)0(22
>=p px y ，过焦点)0,2
(
p
F 的弦的两个端点为),(11y x A ，),(22y x B （0,02121≠≠≠y y y y 且），则点,A B 处的切线方程分别为)(11x x p y y +=和
)(22x x p y y +=，设交点为),(00y x M ，则有)(1001x x p y y +=，)(2002x x p y y +=
这说明切点),(11y x A ，),(22y x B 都在直线)(00x x p y y +=上，因此直线AB 的方程为
)(00x x p y y +=，又因为直线AB 经过焦点)0,2
(p
F ,代入直线AB 的方程)
(00x x p y y +=后得到20p x -=,即两切线交点),(00y x M 在准线2
:p
x l -=上
反之，设抛物线)0(22
>=p px y ，点),(11y x A ，),(22y x B ，准线2
:p x l -=上任意一点
),2
(0y p
M -，
则抛物线在点,A B 处的切线方程分别为)(11x x p y y +=和)(22x x p y y +=，因为经过),2(0y p M -,所以有)2(101x p p y y +-=和)2
(202x p
p y y +-=，这说明切点
),(11y x A ，),(22y x B 都在直线)2(0p x p y y -=上，因此直线AB 的方程为)2
(0p
x p y y -=，
故直线AB 经过焦点)0,2
(p
F ,即AB 为焦点弦.
定理8：抛物线的二垂直切线的交点的轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线必互相垂直.
证明:自一点),(00y x M 向抛物线)0(22
>=p px y 所引的切线方程为
)0()(00≠+-=k y x x k y ,即00
x k
y y x +-=
,与px y 22=联立,消x ,得到 0222002=-+-pkx py py ky .令0=∆,得到022020=+-p k y k x ,设此关于k 的方程的
两根21,k k ，Θ两切线相互垂直，,12021-==•∴x p k k 2
0p
x -=.即抛物线的二垂直切线的交点的轨迹是它的准线
反之，设抛物线)0(22
>=p px y ，准线上任一点为),2
(0y P
M -
,过此点的切线方程为 )0()2(0≠++=k y p
x k y ,即2
0p k y y x --=,与px y 22=联立,消x ,得到
022202=++-kp py py ky .因为相切，令0=∆,整理得022022=-+p k py p k ,设此关于
k 的方程的两根21,k k ，则121-=•k k ，即由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线必互
相垂直.。