安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学(文史类)试题(解析版)

蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试
数学（文史类）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算集合A，然后对集合A和集合B取交集即可.
【详解】由题意可得，，
则
故选:C
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2.已知是虚数单位，则复数（）
A. 1
B.
C. -1
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数商的运算法则直接运算即可得到答案.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.
3.某市小学，初中，高中在校学生人数分别为7.5万，
4.5万，3万.为了调查全市中小学生的体质健康状况，拟随机抽取1000人进行体质健康检测，则应抽取的初中生人数为（）
A. 750
B. 500
C. 450
D. 300
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义建立等量关系可得结果. 【详解】初中生抽取
的人数为，故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义，根据条件建立等量关系是解决问题的关键.
4.函数的图像的对称轴可能为（）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，然后求出对称轴，即可得到答案.
【详解】,
令,解得,
当k=0时，，
故选：A
【点睛】本题考查正余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数的对称轴的求法，属于基础题.
5.已知向量，.若，则的值为（）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
通过可知，利用向量的数量积公式计算可得答案.
【详解】将两边平方可得，
，，可得-t+2=0,
故选：D
【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题.
6.函数的图像是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据函数值f(0)=1排除选项C,D;再根据指数函数图像的性质可得f(x)>0恒成立，即可得到答案. 【详解】，可得f(0)=1,排除选项C,D;
由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，
故选：A
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7.执行如图程序框图所示的程序，若输出的的值为9，则输入的为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x值，当i=4时退出循环，即可得到答案.
【详解】执行程序框图，输入x,
当i=1时，得到2x-1；
当i=2时，得到2（2x-1）-1=4x-3,
当i=3时，得到2（4x-3）-1=8x-7,
当i=4时，退出循环,输出8x-7=9,解得x=2,
故选：B
【点睛】本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
8.在中，分别为内角的对边，若，，则的面积的最大值为（）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理得到b=2,由余弦定理和基本不等式得到角B的范围，再利用正余弦的二倍角公式将面积进行化简，由角B的最值即可得到面积的最值.
【详解】,由正弦定理得2b=a+c=4,即b=2,
由余弦定理得，
解得, ，
又，所以，当a=c时取等号；
,
当时面积取到最大值为，
故选：A
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题.
9.定义在上的函数满足，且时，.若，，，则
的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据可将自变量转到已知区间上，然后函数单调性可得答案.
【详解】由可得，，，,
且时，，
可知函数f(x)在时单调递增，由，可得c<a<b,
故选：B
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查对数函数图像性质的应用，属于基础题.
10.如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点，与平面交于点，设，则（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
延长DC 和AB 交于一点G ,连接EG 交PC 于点F, 由已知可确定点F 为三角形的重心，从而可得答案. 【详解】延长DC 和AB 交于一点G,连接EG 交PC 于点F, 平面ABE 即为平面AEG, 连接PG ，因为AD=2BC,且AD//BC,可得点C,B 分别是DG 和AG 的
中点， 又点E 是PD 的中点，即GE 和PC 分别为的中线，
从而可得点F 为
的重心，
即PF=2FC,可得=2， 故选：
C
【点睛】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题.
11.设抛物线
的焦点为，点在抛物线上，
.若以
为直径的圆过点
，则抛物线的
焦点到准线距离为（ ） A. 8 B. 4或8
C. 2
D. 2或4
【答案】C 【解析】 【分析】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和直线和圆相切的条件，求出点M 的坐标，代入抛物线方程得p 即为答案.
【详解】∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，
设M（x，y），由抛物线性质得|MF|＝x+＝2，可得x＝2﹣，
因为圆心是MF的中点，根据中点坐标公式可得，
圆心横坐标为，
已知圆半径也为1，该圆与y轴相切于点（0，1），
故圆心纵坐标为1，则M点纵坐标为2，
即M（2﹣，2），代入抛物线方程得p2﹣4p+4＝0，解得p＝2，
则C的焦点到准线距离为2．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，主要考查以焦半径为直径的圆与y轴相切的应用，属于中档题．
12.已知函数.若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点(1,0)代入得到，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.
【详解】，设切点坐标为（），
则切线方程为，
又切线过点（1,0），可得，
整理得，
曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足
，解得a>0或a<-2,
故选：D
【点睛】本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，考查转化思想，属于中档题.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由同角三角函数关系式求出，然后利用两角和的正切公式计算可得答案.
【详解】由，，可得,,
则,
故答案为：2
【点睛】本题考查同角三角函数关系式和两角和的正切公式的应用，属于简单题.
14.若双曲线的渐近线过点，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：∵双曲线的渐近线过点P（2，1），
∴双曲线的渐近线方程为，∴∴．
考点：双曲线的渐近线．
15.已知球的半径为3，圆与圆为该球的两个小圆，半径相等且所在平面互相垂直，圆与圆的公共弦的长为，点是弦的中点，则四边形的面积为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由已知条件可得四边形OABC为正方形，设正方形的边长为x,小圆的半径为r,
列出等量关系式可得x，从而得到四边形的面积.
【详解】圆与圆为该球的两个小圆半径相等,且所在平面互相垂直，
可得四边形OABC为正方形，设正方形的边长为x,小圆的半径为r,
在中可得，在中可得，即
解得，故四边形的面积为，
故答案为：2
【点睛】本题考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，解决本题的关键在于得到四边形为正方形，属于中档题，
16.回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元，在保证节约用煤不少于12吨的前提下，最多可节约用水约__________吨．
【答案】9000
【解析】
【分析】
设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，由题意列出不等式组及目标函数，转化成求目标函数的最值问题.
【详解】设回收废纸x吨，回收废铅蓄电池y吨，可节约用水z吨，
由已知条件可得，即，z=100x+120y,
作出不等式组表示的可行域，如图所示，,
平移直线可得当直线过点A时，在y轴的截距最大，即z最大，
由图可得点A(90,0)，此时z取得最大值为9000.
故答案为：9000
【点睛】本题考查简单线性规划的应用，属于基础题解决线性规划的应用题时，其一般步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；由约束条件画出可行域；分析目标函数与直线截距之间的关系；使
用平移直线法求出最优解；还原到现实问题中．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分
17.已知数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用累加法即可求得数列的通项公式；（2）利用等差数列的定义即可得到证明.
【详解】解：（1）由，
所以当时，，，…，，
相加得，，
又，所以，而也符合，
所以数列的通项公式为
（2）由（1）知，则，，
所以（常数），
所以数列是首项为-1，公差为-1的等差数列.
【点睛】本题考查由递推关系式求通项公式，考查累加法的应用，考查利用定义法证明数列为等差数列，属于基础题.
18.如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，点在圆所在平面内，且是圆的切线，
交圆于点，连接，.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意可知，，从而可得平面，从而
由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明；（2）由条件计算和，然后利用
即可得到结果.
【详解】解：（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以.
又在圆锥中，垂直底面圆，所以，而，
所以平面，从而.
在三角形中，，所以，又
所以平面.
（2）因为，，，所以在直角中，
.又，则是等腰三角形，
所以，.
又，所以
设点到平面的距离为，由，即
，所以.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理的应用，考查利用等体积法求点到面的距离，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.
19.为了了解高一学生的心理健康状况，某校心理健康咨询中心对该校高一学生的睡眠状况进行了抽样调查.该中心随机抽取了60名高一男生和40名高一女生，统计了他们入学第一个月的平均每天睡眠时间，得到如下频数分布表.规定：“平均每天睡眠时间大于等于8小时”为“睡眠充足”，“平均每天睡眠时间小于8小时”为“睡眠不足”.
高一男生平均每天睡眠时间频数分布表
高一女生平均每天睡眠时间频数分布表
（1）请将下面的列联表补充完整，并根据已完成的列联表，判断是否有的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”？
（2）由样本估计总体的思想，根据这两个频数分布表估计该校全体高一学生入学第一个月的平均每天睡眠时间（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（3）若再从这100人中平均每天睡眠时间不足6小时的同学里随机抽取两人进行心理健康干预，则抽取的两人中包含女生的概率是多少？
附：参考公式：.
【答案】（1）详见解析；（2）7.35小时；（3）.
【解析】
【分析】
（1）补全列联表，计算，然后与临界值表比较即可得到结论；（2）利用每个矩形的底边的中点横坐标与对应的小矩形的面积的乘积，然后作和，即可得到平均值；（3）利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】解：（1）列联表如下：
由表中数据计算得：，
所以没有的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”.
（2）由两个表格可知，在所抽取的100名高一学生中，平均每天睡眠时间在内的有5人，在内的有40人，在内的有30人，在内的有15人，在内的有10人，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，估计该校全体高一学生入学第一个月的平均每天睡眠时间为
（小时）.（3）这100人中平均每天睡眠时间不足6小时的同学里有3名男生和2名女生. 记三名男生为“”，两名女生为“”，从中选取两名同学可能情形为：. 记事件“抽取的两人中包含女生”为事件，则. 【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查平均值的计算和古典概型概率的计算，属于基础题.
20.已知点是椭圆的左顶点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）矩形的四个顶点均在椭圆上，求矩形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）利用点M坐标可得a值，由离心率求c,从而可得椭圆标准方程；（2）设，由对称性可得B,C,D的坐标，可得，将面积平方然后利用椭圆方程进行换元，转为二次型的函数的最值问题.
【详解】解：（1）依题意，是椭圆的左顶点，所以.
又，所以，，
从而椭圆的标准方程为.
（2）由对称性可知，设，其中，则，，，
所以，，.
因为，又，
所以
，
而，故当时，取得最大值16，
所以矩形的面积最大值为4.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和应用，考查利用换元法求函数的最值问题，考查计算能力，属于基础题.
21.已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）极大值，无极小值；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的极值；（2）要证明，只要证，，所以，只要证明.构造函数，对函数F(x)求导，判断单调性，由单调性求函数最值即可得到证明.
【详解】（1）由，得，定义域为.
令，解得，
列表如下：
结合表格可知函数的极大值为，无极小值.
（2）要证明，即证，而定义域为，
所以只要证，
又因为，所以，
所以只要证明.
令，则，
记，则在单调递增且，
所以当时，，从而；当时，，
从而，即在单调递减，在单调递增，.
所以当时，.
【点睛】本题考查函数极值的求法，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的证明，属于中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线相交于两点，且，求.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用平方和为1消去参数α得普通方程，利用,x=ρcosθ，将直角坐标方程转为极坐标方程．（2）将直线l和曲线C的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得，即可得结果．
【详解】（1）由曲线的参数方程可得普通方程为，
即，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由直线的参数方程可得直线的极坐标方程为，
因为直线与曲线相交于两点，所以设，，
联立，可得，
因为，即，
所以，
解得，所以或.
【点睛】本题考查极坐标方程，直角坐标方程以及参数方程之间的转化，考查极径几何意义的应用，属于中档题.
23.已知：，其中.
（1）求证：；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）详见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
(1)所证不等式等价于，两边平方后分解因式即可得到证明；（2）将所求式子展开然后利用基本不等式从而可求得最值.
【详解】（1）所证不等式等价于，即，
也就是，
∵，∴，
∴，故原不等式成立.
（2）
当且仅当或时，
取到最小值1.
【点睛】本题考查不等式的证明方法，考查比较法的应用，考查利用基本不等式求最值问题,属于中档题.。