“费马点”说明及例举

费马点
费马（Pierre de Fermat,1601-—1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，生于博蒙德罗曼.其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。

本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。

他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。

他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究.他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中,已对微分理论进行了比较系统的探讨.他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿,在其所著〈平面及空间位置理论的导言>中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。

费马还
研究了对方程
2
21y
ax=
+整数解的问题。

得出了求导数所有约数的系统方法。

所谓的“费马点"就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题:“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。

这是费马通信的一贯作风.当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。

人们称这个点为“费马点”。

还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。

可到死也没告诉人家这个所谓证明。

结果困扰世界数学界一百多年.直到去年才解决。

著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。

1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和,把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不
可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。

” 即：
)3
(,2≥
=
+n
z
y
x n
n
无整
数解。

1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。

费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。

这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快"的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。

几何光学已有悠久的发展历史,由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。

1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。

费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。

费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。

可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播,即沿光程为最小、最大或常量路径传播.
费马定理不但是正确的,同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。

一、费马点—-就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论:对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
1、费马点一定不在三角形外(证明略）
2、当有一个内角大于或等于120°时
对三角形内任一点P
延长BA至C’使得AC=AC'，做∠C’AP’=∠CAP，并且使得AP’=AP，PC’=PC，(说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC ≌ △AP'C’
∵∠BAC ≥ 120°
∴∠PAP’ = 180°-∠BAP—∠C'AP' = 180°-∠BAP—∠CAP = 180°—∠BAC ≤ 60°
∴等腰三角形PAP’中,AP ≥ PP'
∴PA + PB + PC ≥ PP’ +PB + PC’ 〉 BC' = AB + AC
∴点A即费马点
3、当三个内角都小于120°时
△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
下面简单说明如何找点P使它到ABC
解析:如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′,连接PP′．则△APP′为等边三角形,AP= PP′，P′C′=PC，
所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长 ,所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°—60°=120°，
∠APC=∠A P′C′=180°—∠AP′P=180°—60°=120°,
∠BPC=360°—∠BPA—∠APC=360°—120°-120°=120°
△的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC
120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
A B
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
费马点作法
（1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小.
特殊三角形中：
（2）.三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB ，BC ，CA,为边，向三角形外侧做正三角形ABF ，ACE,BCD,然后连接AD ，BE ，CF ，则三线交于一点P,则点P 就是所求的费马点。

（3）.若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点. （4）当△ABC 为等边三角形时,此时内心与费马点重合
费马点应用例举
例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD 内一动点
E 到A 、B
、C 三点的距离之和的最
A
B
C
x
y
例2 如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，
()6,0B ， )36,0(M ， 设P 为y 轴上一点，点M 先沿y 轴到达P 点，再沿PA 到达A 点，
若M 点在y 轴上运动的速度是它在直线PA 上运动速度的2倍，试确定P 点的位置，使M 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．
例 3 （2009年湖州中考题）若点P 为△ABC 所在平面上一点,且∠APB =∠BPC =∠
CPA =120°， 则点P 叫做△ABC 的费马点．
(1） 若P 为锐角△ABC 的费马点,且∠ABC =60°，PA =3，PC =4， 则PB 的值为 ； （2）如图8,在锐角△ABC 的外侧作等边△ACF ，连结BF ．求证:BF 过△ABC 的费马点
P ,且BF =PA +PB +PC ．
例4 ：在ABC中，分别以AB,BC,CA,为边向三角形外侧做正三角形ABD、ACF、BCE,∠ABC= 60°,证明：S△ABC+ S△ACF= S△ABD+ S△BCE
注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形)、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决．。