安徽省芜湖市第八中学2020年高三数学文期末试卷含解析

安徽省芜湖市第八中学2020年高三数学文期末试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 不等式的解集是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
2. 设，其中实数满足且，则的最大值是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
【答案解析】D 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：
由由z=2x+5y，得，平移直线，当直线经过点A时，直线
的截距最大，此时z最大.由得，即此时
故选D.
【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可.
3. 已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．
【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，
∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，
∴该几何体的侧视图可能是C，
故选：C．
【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．
4. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系
（为自然对数的底数，为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（）小时. A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 已知数列是等比数列，且，则
的值为（）
A .
B .
C .
D .
参考答案：
A
略
7. 若（是虚数单位，是实数），则在复平面内对应的点是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
略
8. 已知集合则
( )
A．B．C．
D．
参考答案：
C
9. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1, ,则=( )
A. B.3 ×+1 C .
3× D.+1
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，
∠ABC=120°，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积是．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．
【分析】由已知条件可求出AC，求出△ABC的面积，设球半径为R，由球的体积可解得R，再设△ABC的外接圆的圆心为G，进一步求出OG，则三棱锥O﹣ABC的体积可求．【解答】解：三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，
则AC=，
∴，
设球半径为R，由球的体积，解得R=4．
设△ABC的外接圆的圆心为G，
∴外接圆的半径为GA=，
∴OG=．
∴三棱锥O﹣ABC的体积是=．
故答案为：．
【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
12. 双曲线C：x2–y2 = a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为__________．
参考答案：
略
13. 若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_______.
参考答案：
略
14. 如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C在东偏北20°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度
为 m.
参考答案：
12
15. 圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积
为.
参考答案：
略
16. 已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条
件,则实数的取值范围为_________________.
参考答案：
略
17. 已知函数,有下列五个命题
①不论为什么值,函数的图象关于原点对称;
②若,函数的极小值是,极大值是;
③若,则函数的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;
④当时,对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得
(其中点是坐标原点)
⑤当时,函数图象上任意一点的切线与直线及轴所围成的三角形的面积是定值. 其中正确的命题是(填上你认为正确的所有命题的序号)
参考答案：
①③⑤
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，
，，平面，与平面成角.
（Ⅰ）若，为垂足，求证：
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案：
19. 如图：在平面直角坐标系xOy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1,0）为线段的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得
恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
（1），.，化简得，
故椭圆E的离心率为.
（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，
，从而，，左焦点，椭圆E的方程为. 设，，，，则直线的方程为，
代入椭圆方程，
整理得，.，.从而，故点.同理，点.
三点、、共线，，从而.
从而
故，从而存在满足条件的常数．
略
20.
（12分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求4人中一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流
抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏。

（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：
若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。

用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。

参考答案：
解析：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，
解得n=3
即盒中有“会徽卡”3张。

……4分
（2）因为表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，……4分
；
；
；
，
概率分布表为：
……10分
的数学期望为。

……12分
21. 已知函数f（x）=lnx﹣x，．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b 的值．
参考答案：
解：（1）因为，所以，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），
所以当x=e时，h（x）取得最大值；…（6分）
（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
设，因为，
故?（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，?（x）min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．…（10分）
（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，
即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即恰有一解，
由（1）知，h（x）在x=e时，，…（12分）
而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，
故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2，
故方程=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=，
即b=e2+﹣1；
略
22. （本小题满分14分）
已知函数，
（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：（）．
参考答案：
(Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) ;（Ⅲ）见解析
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；数列的求和．B11 B12
解析：（Ⅰ），（），，
即，当，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在处取得极大值，极大值为，无极小值．……………………………４分（Ⅱ）方法1：因为，
对任意的恒成立,由（1）知，
则有，所以．……………………………………………9分
方法2：记，，
,，，由得即
上为增函数；
上为增函数；在上为减函数．
因为对即要求恒成立,
所以符合且
得．………………………………………………………………分（Ⅲ），由（Ⅰ）知，
则（当且仅当取等号）．
令（），即，则有
则得证……………………………………………………………… 14分
【思路点拨】(Ⅰ) ，（x＞0），，分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间、极值；(Ⅱ) 方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分离参数可得：k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，，对k 分类讨论研究其单调性即可得出；
（Ⅲ），由（Ⅰ）知：（当且仅当x=1取等
号）．令x=n2（n∈N*，n≥2），即，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出．。