例谈三角函数复习备考策略

2022年第5期中学教研（数学）・47・例谈三角函数复习备考策略
许健华
（高州中学，广东茂名525220）
摘要:三角函数、三角恒等变换与解三角形（统称三角）是高中数学的重要组成部分，它与高中数学多个知识模块（函数、向量、不等式、几何）相互联系与渗透，同时，三角在实际生活及科学研究中有着广泛的应用.在高考中，三角这部分内容主要考查基本概念、基本方法和基本技能，注重解决问题的通性通法，因此三角在高考中是兵家必争之地.
关键词:三角函数;复习备考;公式应用;解题招式
中图分类号：0120.1文献标识码：A文章编号：1003-6407（202205-0047-45
1考点回顾与命题规律
从考查内容上看,该部分主要有：1三角函数的定义;2）三角公式：同角三角函数公式、诱导公式与三角恒等变换公式（和差角、二倍角、降幕、辅
助角公式）；3）三角函数的图像与性质以及图像变换规律;4）利用正弦定理和余弦定理解三角形、与三角形面积或周长有关的问题.
深入研究近几年数学高考全国卷（I,n,皿），从题型上看，呈现较强的规律性，题量和分值
要么3道小题共12分,要么一道小题加一道大题,共17分巴
2典例剖析与备考秘笈
三角“门派”众多，而且各“门派”喜欢对考生“百般刁难”，但考生并不需要惧怕它们，只要研透各大门派,做到心中有招，便可各个击破.
2.1“门派”1：化简求值
与三角有关的公式概念主要包括:三角函数的定义、同角三角函数公式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、降幕公式、辅助角公式等.
2.-1招式2不惜千金磨宝刀，给值求值莫言难又tnn(a-B)=s，从而
tnn B二a-a-)]
11
23=1
例1已知sm Qcos a
1-os2a
2a n(a-B)二｝，贝9
tnn a-tnn(a-B)
1+tnn atnn(a-B)
评注“给值求值”：给出某些角的三角函数
式的值，求另外一些角的三角函数式的值，这是高
考的热点•解题关键在于“变角”，知“单角”求“复
角”知“复角”求“单角”,通过“拆角”“凑角”等方
法，使角相同或具有某种关系•数学抽象、逻辑推理
等数学核心素养渗透其中.
2.1.2招式2：凌风龙现霹雳斩，给值求角最拿手
例2设a,e(°,J sin(a+B)=2sin(a-
B），则a-的最大值为______•
分析本例解题的关键是把条件利用正弦和
差角公式展开，即可消元，进而利用基本不等式解
题.需要注意角的范围.
tnn B—______•
分析本题主要考查三角函数诱导公式、和差角公式•解题的关键是配凑角，把B配凑成a-a-B）,进而求其正切值.
解因为T a o；a=1,所以
1-cos2a
sin acos a=2sin0a,
贝寸tnn a=：22
解由sin(a+0)=2sin(a--),得
sin acos0+cos asin B=2sin acos s?_2cos asin B，贝寸tnn a=3tnn B，
从而tan(a--)=
tan a-tan B2tan B
1+tan a t an B1+3tnn2
--------3tan B
tan B
收文日期：2222-12-07；修订日期：2222-12-35
作者简介:许健华（1984—），男，广东茂名人，中学一级教师•研究方向:数学教育.
・43 •中学教研(数学)2021年第5期
3
当且仅当tan /^二亍时，等号成立.
由于/(x ) = an x,其中x E
(0，C 4)为增函数,
a , e
(,故a -的最大值为
评注“给值求角”的实质是转化为“给值求 值”，可先求角的某一三角函数值，再根据题目给
出(或判断)角的范围，确定角的度数.
解“给值求角”问题的一般思路:先求角的某 种三角函数值,再根据已知条件确定角的范围，最
后根据角的范围写出所求的角•在求角的某种三角 函数值时，选三角函数的原则2)已知正切函数 值,选正切函数;2)已知正弦、余弦函数值，选正弦
函数或余弦函数.若角的范围是(0,
于)
，选正弦、
余弦均可;若角的范围是(0,n )，选余弦较好;若角 的范围是(-一2，
n
i ，选正弦较好•显然，数学运算、
数据分析等学科核心素养蕴含其中.2. 6
“门派”2：函数性质
高考中对三角函数的图像与性质的考查,主要
是y = Asin(^ox+^)型.解决问题的关键是理解)=
sin x,, = cos x , = tan x 的图像与性质，运用“化归” 的思想方法解决问题，研究三角函数性质需与图像
相结合分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称
性、最值、极值,充分体现数形结合的思想方法,并 将逻辑推理、数学运算等核心素养渗透其中.
例3声音是由物体振动产生的声波,纯音的 数学模型是函数)= Asin
血,
我们听到的声音是由 纯音合成的,称之为复合音•若一个复合音的数学
模型是函数/(x ) = J 3 IcosxIlsin xI ，则下列结论 正确的是 ( )
A. /(x)是偶函数
B6(x)是周期函数
C. /(x)在区间［0,亍］上单调递增
D. 6(x)的最大值为2
分析利用奇偶函数、周期函数定义能轻松判
断出函数是否具有奇偶性及周期性•根据题意，在 区间
［o ，A 4］中可直接去掉函数绝对值符号，进而
对函数化归求最值及单调性
解 因为 /(--) =槡槡 I cos (-一)I 11 sin ( -- ) I =
槡33 cos x 111 sin I =/(x )，所以/(x )是偶函数，故选 项A 正确.又因为
/(x+Zm)=槡31 cosd+Zm) I + 丨 sin((+A ：n) I =
槡31 cos x I + sin x I =( x ),
所以/(x )是周期函数，故选项B 正确.当x E
[o 04]时，
/(x)=槡5cos x+sin x = 2sin(x+K)-
由 2陌-一4wx++2s ^++4(其中 ZZ )，得
2kn 一- .x.2kn+-0~(其中 A ：e Z ).
66
令"0,可得
5n
n
一訂尺
6
从而
/(x)在区间［0，C 4］上不是单调递增的，于是选
项C 错误.因为/(x )是周期为n 的周期函数且是偶 函数，当 x E ［0，C 4］时,,(x)= 2sin(x++3)，从而/(x )
的最大值为2,因此选项D 正确.故选ABD.
评注 本题主要考查三角函数性质，渗透了逻
辑推理、直观想象和数学运算素养.可采取性质法 或赋值法〔2］,利用数形结合思想解题.
运用三角函数的性质,关键要把三角函数式化 成)=Asin( ex +卩)或)=Acos(ex+e)或)=Atan( ex +
卩)，在转化过程中,辅助角公式是重要的工具.2.3 “门派”3：解三角形
该门派考查的重点是正弦定理、余弦定理和三 角形面积公式的应用，且常和三角恒等变换相结
合,考查形式为边、角、面积的计算，充分体现了数
学抽象、数学建模等核心素养.
2.3.1招式5虎啸空山十里震，正弦余弦心有数
例4 如图5在三棱
锥的平面展开图中,AC =1,
AB = AD = J 3 , AB 丄 AC ,
4B 丄 AD ,厶CAE = 30”，则
cos 乙 FCB =______6
分析本例创新之处 是把三角函数与空间几何 及平面几何相结合，需要注
意利用隐含条件AD=4E ,
CE 二CF,BF 二BD.同时，需要在两个三角形中分别利用余弦定理解三角形
解 由已知得BD = J4AB = J6.因为点D,E,F
重合于点P,所以
4E =AD = J 3 , BF 二 bd = J
6
2021年第5期中学教研（数学）
在AACE中，由余弦定理，得
CE=AC0-AE2-2AC・AEcssZCAE二
sm0++2(10+20-2x1x2cos0)=
1+(T3)2_X1x73xcss30。

=1,从而CE二 CF=1.
在ABCF中，由余弦定理得
.5
sin0-css0+——
4
5
+T
cos乙FCB _BC4-CF4-BF4
一2BC・CF
9+20-(76)2
2x1x2
因为0E（0,n）,所以当0=丁时，四边形0PRQ的
评注一般而言，在解三角形问题中，若题目以“两角和一边”或“两边和其中一边的对角”或“正弦值之比的关系”又或“外接圆半（直）径”的形式出现时，可考虑采用正弦定理解题•若题目以“两边和这两边的夹角”或“三角形的三边”的形式出现时，可考虑采用余弦定理解题.
2.32招式2：龙卷狂沙千山摧，三角综合分分争
例5如图2,在平面直
角坐标系％0）中，已知定点
Q（1,0）及动点P（2cos0,
2sin0）（其中0<0<n）,以
pc为斜边作一等腰
Rt^P^C（原点0与点人分
别在直线PC的两侧）•
n图2
1）当0=y时，求
I0人―；
2）求四边形0PRQ面积的最大值.
n
分析当0=亍时，运用余弦定理即可解面积s最大，最大值为/6++4.
评注解三角形综合问题往往是求最值（或范围）问题,主要涉及三角形面积、周长（边长）、三角函数式、代数式等的最值（或范围）•主要考查方式有两种：9以平面几何知识为载体,考查正、余弦定理及面积公式的应用;2）同三角函数或基本不等式或向量相结合，考查最值（或范围）问题，难度偏大•常见的解题方法有两种：-转变为一个变量的函数，即通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为单函数，从而将问题转化为求函数的值域（或最值）; 2）利用均值不等式求得最值（或范围）.
3精题集萃
7已知函数/（x）=
cos（o>x+e）（其中°〉0）的
部分图像如图3所示，则
下列结论成立的是（）
A.6（x）的单调递增区
间是（7^_47^^7^+4|）,
其中
1 4
△0RQ.注意到△PKQ为等腰直角三角形,从而四边形0PRQ的面积S=S"rq+S&rq,即可得S关于0的三角函数，对S进行化归求最值.数学建模、直观想象、数据分析等数学核心素养跃然纸上.B函数彳x-寸）是奇函数C.函数是偶函数
解9当0晋时，点P的坐标为（9,3）, Z0QP二丁，且―QI=/3,z0QR二丁，则
―Ql=—Q—ss才二亍.
在A0RQ中，由余弦定理得
3n I0R I2=I0Q I2+I—Q I0-2l0Q I・丨—Q I cos&二
2）由题意得I0P I=2,ZP0Q=0,四边形0PRQ的面积为
s=*|0P I・丨0QI sin0++6l—Q I2=
D.6(x)=cos(2x__)
2•已知/(x)=sin x•sin2x,下列结论正确的是()
A）=（x）的图像关于点（于,）对称
B6=（x）的图像关于直线x=n对称
C6（x）是周期函数/3
D./（x）的最大值为"0
3•已知等边A4BC的边长为3,点D在边BC 上，且BD〉CD,2D=/4,则下列结论中正确的是
（）
A.BD=2
CD
s
Q△ABD-
-----二2
S
^ACD
4.已知函数/(2)= 2sin(22+e)对任意的2都
cos Z BAD sin Z BAD C.--------------= 2 D.--------------= 2cos Z CAD sin Z CAD
5・我国汉代数学家赵爽 为了证明勾股定理,创制了
—幅“弦图”，后人称其为 “赵爽弦图”.如图4, △A BC
是由3个全等的三角形与中
间的一个小等边三角形拼成 的 一 个 大 等 边 三 角 形，设
DF = 2AF , AB = /D ,贝U 亦即 sin Asin B =/3sin Acss B.
因为角A,B,C 是三角形的内角，则sin AH0,所以
tan B = /T ，得 B =亍.
1)2 = 4,由正弦定理，得
bin A 8. 8/".
5 = -:-----=---sin A , c =----sin C ,
sin B 3 3
5++ =sin A+sin C).
因为a +c =0n 所以
△ EDF 的面积为______.
sin A+sin C = sin A+sin(49一A =槡3^11(A++6) e
则6. 已知函数/（2）= sin 02-cos 22-2槡5sin 2osi 2 （其中2 e R ）,求/（2）的单调递增区间.
7. 已知AABC 中，角A , B , C 的对边分别为5 ,
b,c,且(bcos C +ccos B) sin B =/35COS B.
2若2 = 4,求5+c 的取值范围；
2）若AABC 的面积为/\D 为AC 的中点，求 边 BD 长度的最小值．
参考答案
-D 2. ABC 3. ABD
4. ±2
5./3
6 解 由 cos 22 = cos 2 - sin 2 与 sin 22 = 2sin 20s 2,得
/(2)= -cos22-/5sin 22 = -2sin(22++6).
由正弦函数的性质，得
W 22++6w¥+2A ：n (其中 k e Z ),
2 6 2
解得
W% ^冬+^打，
6 3
从而/(2)的单调递增区间是［于+A ：n ，0^+陌］(其
中 k e Z ) •
7.解由正弦定理，得
(sin Bess C +sin Ce os B ) sin B =槡33口 Acss B ,
即
sin( B+C) sin B r /fsin Acos B ,
因为
0vAv¥，所以
从而
n , n 5n ——<A+——<——,6 6 6'
槡^槡3^ a +^6)
w / ,
4<5+c W 8,
于是
故5+c 的范围是（4,8].
2） △ABC 的面积为/■，从而
—Qcsin B 二槡^,2 槡
于是5c = 4.因为D 为AC 的中点，所以
B _=^2-（b 4+B c ）,
从而
i B4i 2+i BC 2+2B4 ・ B_） =
-（—（5+（2+5€（ M 1（ 25（? + 5（= 3,
于是BD 长度的最小值为槡3
参考文献
[2 胡建烽•例谈高考三角函数复习策略[J ].中
学教研（数学），2018（3） ：42-46.
[2]高慧明.高考数学填空题命题规律及备考策
略[J ] •广东教育，201（ 12） ：23-28.
中国标准连续出版物号:ISSN 1203-6407
CN 33-1269/G4
邮发代号32-7字数97 000 定价5.40
元。